基于广义Weibull分布的滚动轴承故障特征提取方法*＊

姜海燕 林 波②

(①湖南铁道职业技术学院铁道供电与电气学院，湖南株洲412001;②华东交通大学电气与自动化工程学院，江西南昌330013)

滚动轴承是旋转机械的重要组成部分之一，而其运行的好坏直接影响整台机组的运行性能。根据相关数据统计，30%的旋转机械故障都是由滚动轴承故障引起的。因此，对旋转机械的滚动轴承运行状态的监测与诊断是至关重要的［1］。然而滚动轴承在运行过程中表现出来的振动信号往往是较复杂的，简单的时域特征和频域特征分析也无法完美地刻画滚动轴承的故障特征信息。Weibull分布模型能较好的应用于机械设备疲劳寿命预测中，能够较好地预测机械设备的疲劳寿命［2－6］。文献［7］对滚动轴承振动信号通过小波降噪处理之后，对降噪后的信号建立Weibull分布模型，求取模型的似然对数值作为表征滚动轴承的特征向量，进行模式识别应用于滚动轴承故障诊断中，取得了较好的效果。因此，Weibull分布模型的相关参数能较好的刻画复杂的滚动轴承的振动信息。

但是滚动轴承振动信号通常也具有非线性、非平稳性和非高斯性等特点，Hilbert频谱分析能有效地从具有非线性、非平稳性的信号中提取特征频率，通过特征频率来判断滚动轴承的故障类型［8］。而仅靠Hilbert频谱分析提取出来的特征频率往往不是很明显，会受一些干扰信号的限制。文献［9］是通过小波包分解之后，对每层重构的小波信号进行最优化选择，选择相关信息最吻合的小波包重构信号进行Hilbert变换，绘制Hilbert频谱图，准确找到电动机的故障频率，应用于电动机的故障诊断中。改进的Hilbert边际谱等方法也广泛应用于滚动轴承故障诊断中［10－12］。但这些方法是利用Hilbert的频谱分析来进行故障诊断的，并没有用在滚动轴承故障特征信息提取方面。

因此，本文结合Weibull分布模型的参数能较好地刻画复杂滚动轴承振动信号的非高斯性和Hilbert变换的包络信息能较好的表征滚动轴承振动信号的非线性与非平稳性的特点。将Hilbert变换与Weibull两参数分布模型相融合应用于滚动轴承故障诊断中，并通过对比试验证明，本文所提特征提取方法的优越性与有效性。

1 广义Weibull参数模型的建模及参数估计

1.1 hilbert变换及包络解调

对于时间序列信号x(t)而言，其Hilbert变换为y(t)=H·x(t)被定义为:

使用中值理论将式(1)估计为:

其中f为频率，其单位为Hz。经Hilbert变换之后，原始信号x(t)的正频率成分作－90°相移，负频率成分作+90°相移。因此，hilbert变换器可以看成是一个全通滤波器，变换之后，信号频谱的幅度没有发生变换，而改变的只是其相位关系。

变换之后，信号的实数部分和虚数部分重新组成一个新的复数的表达式为:

那么，Z(t)为原始信号x(t)的相关分析信号，Z(t)适当的滤去了x(t)的负频率部分。其复数信号Z(t)的包络定义为E(t):

1.2 广义Weibull参数模型

1.2.1 建模

Weibull分布是瑞典人Weibull在1939年提出的一种描述材料疲劳强度的分布模型，因其模型参数可以较好地反映随机载荷下机械产品及其零部件的疲劳寿命和疲劳强度，故在可靠性研究中得以广泛应用［2－7］。

常用的三参数Weibull分布概率密度函数(Probability Density Function，PDF)和累积密度函数(Cumulative Density Function，CDF)分别为［2－7］:

式中:w为载波频率;A(t)为调幅信号x(t)的包络，即瞬时振幅。令X=A(t)，则:

式中:其形状参数 β＞0，尺度参数 η＞0，位置参数x0≥0，当x＞x0，即为与尺度参数具有相同尺度单位的随机变量。传统的可靠性分析方法是通过记录产品的故障、拆修等事件数据来估计产品的物理特征，此时X表示为产品的失效时间或寿命。而在特征提取和故障诊断技术方面往往通过对机械的运行状态进行实时数据监控，通过对采集的数据分析其机械运行的特征，因此，X也可以为采集到的原始振动信号。

当x0=0时，模型退化为最常用的双参数模型，其PDF和CDF分别为:

对Hilbert变换之后求取的包络信号建立两参数威布尔分布模型，其具体步骤如下:

(1)将式(6)中的包络信号X代入式(10)中得:

(2)将式(11)转换成如下所示:

因此，可以得出两参数的Weibull模型在概率纸图上是一条直线，其斜率为β，截距为－βlnη。令A=β，B=－βlnη，则式(14)变成如下所示。

(3)如果Hilbert的包络信号能按式(15)在y－z平面上绘制的曲线接近于一条直线，则证明该信号符合两参数Weibull分布模型。

1.2.2 参数估计

Weibull分布的参数估计方法较多，有最大似然估计法、相关系数优化估计法、矩估计法以及最小二乘估计法等。在这些参数估计法中，最小二乘参数估计法是比较有效而应用较广的估计方法［13］。本文采用此方法估计Weibull分布模型的尺度参数和形状参数。

由式(15)可知，其为线性方程，通过最小二乘法可估计此线性方程的回归系数A和B的值如下:

从式(13)可知，若

由此可得，β和η的估计值为:

1.2.3 模型的拟合度检验

拟合优度是检验所观测的数据模拟的分布模型与选定的理论分析模型是否相符的度量标准。此度量标准能有效反映所选观测数据拟合的模型与所选的理论模型是否一致，即可用此理论模型进行拟合观测数据的重要指标。最简单的拟合优度检验的方法是计算模型的判定系数(Coefficient of Determination)R2，定义如下:

判定系数的取值范围为0～1之间，越接近1，说明观测数据越符合所选用的理论模型。

2 基于广义Weibull参数模型的故障诊断

基于广义Weibull参数模型的滚动轴承故障诊断流程如图1所示。

具体实现过程如下:

(1)通过安装在滚动轴承的加速度传感器按一定的采样频率采集正常轴承振动信号、内圈故障轴承振动信号、外圈故障轴承振动信号和滚动体故障轴承振动信号，得到一定的振动信号作为实验样本。

(2)对上述过程采集到的原始振动信号进行信号预处理，得到分析信号xs(n)。对分析信号进行Hilbert变换，并对变换的数据进行包络分析，得到包络信号x(n)。

(3)将包络信号x(n)按照1.2.1节所述方法建立Weibull分布模型，然后由式(17)估计出Weibull分布模型的尺度参数和形状参数，最后根据式(18)计算出观测数据拟合模型的判定系数，对两参数的Weibull分布模型进行验证。

(4)将第3步估计出来的尺度参数和中位数构建一个2维的特征向量Xa= [ ηa，βa](a=1，2，…，M)，M表示样本个数，选择特征向量Xa中的20个样本作为训练样本集{(，yl)}，剩下的部分作为测试样本集{(，yk)}，其中yl、yk为 SVM 分类器的目标输出值，分别为1、2、3和4(1标记正常轴承运行状态，2标记内圈故障轴承运行状态，3标记滚动体故障轴承运行状态，4标记外圈故障轴承运行状态)。

(5)利用训练样本对SVM分类器进行训练，SVM的建立详见文献［14］。

(6)测试样本通过训练好的SVM多分类器进行故障模式识别。

3 实验分析

实验分析的数据来自美国凯斯西储大学(Case Western Reserve University)电气工程实验室。轴承几何尺寸和实验装置见文献［15］。通过此滚动轴承信号采集装置分别采集了正常运行状态的滚动轴承振动信号、内圈故障轴承振动信号、外圈故障轴承振动信号和滚动体故障轴承振动信号。这3种故障状态下运行的滚动轴承的故障点直径为0.177 8 mm，分别在不同电机负载/转速工况条件(0、1、2和3马力与其对应的1 797、1 772、1 750 和 1 730 r/min)下采集的振动信号。获得4组16种运行状态的数据，而每个样本分析的数据点为1 024个点。

按本文第1节所述的方法，对每个样本进行Hilbert变换，对变换之后的复数求解其Hilbert的包络信息。4种不同运行状态下的滚动轴承的原始振动信号的时域图如图2所示。这4种运行状态的振动信号对应的Hilbert的包络信号如图3所示。从图3可以看出，Hilbert变换之后的包络信号能反映滚动轴承振动信号的瞬时特征，而滚动轴承发生故障时，往往其振动幅值发生明显的变化。因此，Hilbert包络信号能表征轴承的运行状态信息，而且从图3可知，通过式(15)计算出的包络信号为正值，为建立Weibull分布模型作准备。对Hilbert包络信息建立Weibull分布模型，Weibull的尺度参数和形状参数能更好的表征滚动轴承振动信号的特征信息。

图4为4种不同运行状态下滚动轴承Hilbert包络信号的Weibull模型的概率分布纸图，从概率分布纸图可以看出，这些数据近似于一条直线，因此滚动轴承的Hilbert包络信号可以用Weibull分布模型来模拟。为了更进一步验证该模型的符合性，并通过式(18)计算4种运行状态的滚动轴承信号拟合Weibull分布模型的判定系数分别为:正常轴承的断定系数9 9.65%;内圈故障轴承的判定系数=98.92%;滚动体故障轴承的判定系数99.55%;外圈故障轴承的判定系数=96.93%。

验证模型的可行性之后，根据式(17)计算模型的尺度参数和形状参数，其尺度参数如图5所示，从图5可以看出，4种不同运行状态下的滚动轴承的尺度参数各不相同，将其送入SVM进行模式识别与分类，能更好地判断故障类型。

从每种运行状态中随机抽取20个样本总计80个样本特征向量作为训练样本建立SVM分类器，其余剩下的样本作为测试样本，将测试样本送入建立好的SVM分类器进行模式识别与故障诊断，并对经过Hilbert变化的滚动轴承振动信号进行Weibull分布模型验证。按第2节所述对滚动轴承进行故障诊断，其识别结果标记为A。为了证明此方法的优越性与有效性，本文还做了一个对比试验:对原始振动信号进行Hilbert变换，变换之后求取其包络信息，提取包络信息的均值和方差作为特征向量输入SVM进行模式识别与故障诊断，识别结果标记为B。实验结果如表1所示。

表1 不同故障类型SVM识别结果

从表1可知，本文所提特征提取方法的识别率明显高于第2种方法，而且准确率都在99.5%以上。因此，广义的Weibull分布模型参数的滚动轴承故障特征提取方法是可行的。

4 结语

(1)Hilbert变换在滚动轴承故障诊断中的应用，通常是绘制Hilbert的包络谱图，通过包络谱图来准确判断不同故障类型的滚动轴承的故障频率来识的别滚动轴承的故障类型。而本文是通过对滚动轴承振动信号进行Hilbert变换，求取包络信号，对包络信号建立两参数的Weibull模型，求取模型的尺度参数和形状参数作为表征滚动轴承运行状态的特征信号，通过SVM分类器模式识别验证表明，该特征提取方法是有效，也是一种新的特征提取方法。

(2)本文通过对比试验:对滚动轴承振动信号进行Hilbert变换之后求取包络信号，对包络信号进行均值和方差的计算，将均值与方差输入SVM分类器进行模式识别与诊断。模式识别结果表明本文提出的特征提取方法的结果比该对比试验结果准确率更高。

(3)通过实验证明基于广义的Weibull分布的滚动轴承故障特征提取是有效的，能较好的表征滚动轴承的运行状态信息。