融合多混沌映射和DNA编码的图像加密算法

冉 维，韦鹏程，段 昂

(重庆第二师范学院 数学与信息工程系，重庆 400065)

0 引 言

图像加密是防止图像被截获篡改的有效方法。混沌是非线性动力学系统中的一种确定性的类随机过程，与密码学之间有着结构上的相似性，非常适合用于图像加密[1]。文献[2]提出了一种多混沌图像加密算法；文献[3]提出了一种基于Logistic混沌系统的快速数字图像加密算法，该法简单易行，加密与恢复效果良好；文献[4]将Logistic混沌序列与Chebyshev混沌序列相结合，提出了一种基于复合混沌系统改进的高级加密标准加密算法。这些基于混沌的图像加密算法一般使用低维混沌映射作为加密的工具，虽然加密结构简单便捷，但由于低维混沌系统参数和初始值个数少，密钥空间较小，算法的安全性较低[5]。

DNA计算技术的飞速发展使其逐渐应用到图像加密中。例如文献[6]使用置乱和扩散技术结合DNA互补规则和混沌映射，提出了一种图像加密算法；文献[7]运用DNA计算模型中的DNA剪切、转换等操作对目标图像进行加密处理；文献[8]在离散小波域中基于DNA水印技术对DNA编码序列进行划分，利用加密控制信息和分组方案对编码序列进行替换，完成图像加密；文献[9]利用DNA技术将目标图像编码成DNA序列和超图像格式，在DNA序列下完成替换，在超图像格式下完成扩散，实现目标图像的加密。

虽然基于DNA技术的加密算法有很多无法比拟的优势，但单一使用DNA技术加密无法保证加密算法的安全性，将混沌理论与DNA技术相结合已成为DNA加密技术的研究热点。文献[10]融合二维混沌映射、DNA编码和细胞自动机模型，提出了一种图像编码算法；文献[11]采用混沌映射索引和DNA互补编码相结合的方法，提出了一种安全可靠的图像加密技术；文献[12]以混沌序列为映射随机编码图像信息，提出了一种真彩图加密算法；文献[13]提出了一个基于DNA、哈希算法SHA-2和Lorenz系统的图像编码算法。当前基于DNA编码技术与混沌理论的图像加密算法对明文攻击有较低的防御性，存在对明文和密钥低敏感性的不足[14]，同时图像相邻像素存在相关性，在加密算法中单一置换无法有效抵御统计攻击。针对以上问题，本文在借鉴前人研究成果的基础上，提出了一种融合多混沌和DNA编码技术的图像加密算法。

1 混沌映射

1.1 Logistic-正弦映射

Logistic映射是众多一维混沌映射中的一种，它虽然实现简单但可以产生复杂的混沌状态，其定义如下

xn+1=L(μ,xn)=μxn(1-xn)μ∈(0,4],xn∈[0,1]

(1)

当参数μ在[3.57,4]范围内，系统处在混沌状态，如图1(a)所示。但Logistic映射的lyapunov指数较小，混沌序列分布不均匀，比如当μ=3.62、3.74或3.83时，系统并没有表现出混沌特性，如图2(a)所示。正弦映射(Sine映射)与Logistic映射具有类似的混沌特性，其定义如下

xn+1=S(μ,xn)=μsin(πxn)/4

(2)

图1 混沌序列分岔图

正弦映射的分岔图如图1(b)所示，当参数μ在[3.48,4]范围内时系统处于混沌状态。而正弦映射和Logistic 映射一样存在较小的lyapunov指数、序列分布不均匀等缺点，如图2(b)所示。Logistic-正弦映射具有较大的参数空间，当参数μ在(0,4]范围内时系统处于混沌状态，其定义如下

xn+1= (L(μ,xn)+S((4-μ),xn))mod1=

(μxn(1-xn)+(4-μ)sin(πxn)/4)mod1

(3)

图2 混沌序列分布图

Logistic-正弦映射的分岔图如图1(c)所示。Logistic-正弦映射的混沌序列分布比较均匀，如图2(c)所示。而且具有较大的lyapunov指数[15]。

由图1和图2可知，与Logistic映射和正弦映射相比，Logistic-正弦映射具有更大的参数空间，更加均匀的混沌序列分布和更大的lyapunov指数，由于lyapunov指数越大，说明混沌特性越明显，混沌程度越高，因此更适合利用混沌状态对图像进行加密。

1.2 Arnold映射

Arnold映射也称为猫映射，其是采用阶数维的图像矩阵将目标图像中的像素点(x,y)变换到(x′,y′)处，其变换矩阵如下

(4)

上式是单位正方形上的猫变换，当扩展到图像大小为N×N上时，变换矩阵如下

(5)

Arnold映射变换中，经过一定次数的迭代后可使目标图像像素随机均匀分布在置乱的图像中，但Arnold映射变换具有周期性，被置乱的图像可能会被迭代变换恢复。为了解决此问题，可将经Arnold映射变换后的图像进行替换和扩散

(6)

经过改进后的变换矩阵不仅具有混沌映射的特性，还可在一定迭代次数后，任意相邻的像素点可随机分布在整个图像空间中且不重叠，这可以大大提高图像加密的抗统计性攻击。

2 DNA编码技术

DNA是脱氧核糖核酸(deoxyribo nucleic acid，DNA)的简写，代表着生物特征的遗传信息，共有4种含氮碱基，分别是腺嘌呤(A)、鸟嘌呤(G)、胞嘧啶(C)和胸腺嘧啶(T)。DNA通过两条单链DNA序列利用碱基互补配对通过氢键连接起来。其中，腺嘌呤(A)与胸腺嘧啶(T)配对，鸟嘌呤(G)与胞嘧啶(C)配对。若用二进制00，01，10，11表示A，C，G和T这4个碱基时，共有4！=24种编码方案，但是其中仅有8种符合碱基互补规则。见表1。

表1 DNA序列的8种编解码

对于不同的编码方案，对应的加减运算也是各异，本文定义如下DNA加减法：

根据表1中DNA序列的8种编解码，本文定义了3种DNA序列的加减运算方案，表2为第1种编码方案与第3种编码方案加减运算，其运算结果以第1种编码表示，表3为第3种编码方案与第1种编码方案加减运算，其运算结果以第3种编码表示，表4为第6种编码方案与第3种编码方案加减运算，其运算结果以第6种编码表示。

表2 第1种编码方案与第3种编码方案加减运算(结果以第1种编码表示)

表3 第3种编码方案与第1种编码方案加减运算(结果以第3种编码表示)

表4 第6种编码方案与第3种编码方案加减运算(结果以第6种编码表示)

3 多混沌映射和DNA编码的图像加密

结合Logistic-正弦映射、Arnold映射和DNA编码技术的优点，文章提出了一种融合多混沌映射和DNA编码技术的图像加密算法，算法流程如下：

步骤1 初始化变量p=q=2，Arnold置乱变换迭代次数Na=90，Logistic-正弦映射初值x0=0.5,μ=4；

步骤2 将M×N目标图像转化成R、G、B这3个M×N大小的二维颜色分量矩阵，通过补零方式将3个颜色分量矩阵组成大小N1×N1的方阵；

步骤3 利用式(6)对大小N1×N1的3个颜色分量矩阵进行置乱，将置乱后的R、G、B这3个矩阵转化成大小为N1×8N1二进制矩阵；

步骤4 按照第1种、3种和第6种编码方案对R、G、B二进制矩阵进行DNA编码，得到大小为N1×4N1的R1、G1、B1；

步骤5 根据设定的初值，迭代Logistic-正弦映射300次去除暂态效应，继续迭代Logistic-正弦映射N1×N1次，获得N1×N1混沌序列ω，利用式(7)对混沌序列整数化处理，将处理后的Logistic-正弦混沌整数序列进行DNA编码

w(i,j)=mod(floor(ω*power(10,5)),256)

(7)

步骤6 按照式(8)替换R、G、B这3个平面中碱基，得到被替换的颜色矩阵

(8)

步骤7 对置乱替换后的R2、G2、B2分别按照第4种、2种和第7种编码方案进行DNA编码，得到3个大小N1×N1的R3、G3、B3矩阵；

步骤8 将R3、G3、B3合成中间密文，对其求和得到和值，利用和值对所获得的中间密文按位异或，最终得到加密图像。

解密是加密的逆过程，按照以上反操作即可，需要注意的是在解密算法中，按照B、G、R的顺序恢复，其中步骤6中进行的是DNA减法运算。图像加密的流程如图3所示。

图3 图像加密的简要流程

本文算法改进后的Arnold变换矩阵置乱，使颜色分量中的任意相邻像素点随机分布在整个图像空间中，利用Logistic-正弦映射通过多次迭代产生混沌序列进行DNA编码，用于作用于R、G、B这3个颜色分量平面。文中算法的重点在于将以第1种DNA编码的R颜色分量与第3种DNA编码方案编码的Logistic-正弦映射序列进行DNA加运算，得到以第1种编码方案编码的R2分量，将以第3种DNA编码的G颜色分量与经置乱替换后的R2分量进行DNA加运算，得到以第1种编码方案编码的G2分量，以第6种DNA编码的B颜色分量与经置乱替换后的G2分量进行DNA加运算，得到第1种编码方案编码的B2分量。不同颜色平面采用不同DNA编码方案，大大加大了破译难度，同时将Logistic-正弦映射产生的混沌序列混入R颜色分量平面，并以此结果相DNA加，依次产生置乱替换后的3个颜色平面，这样置乱替换后的像素不仅与Logistic-正弦映射混沌序列相关，还影响不同颜色平面的像素，解决目标图像相邻像素点的相关性，增强了抗统计攻击的能力。

4 仿真实验与结果分析

本文在实验环境为Intel(R) Core(TM) i5-2520M CPU @2.5 GHz、4 G RAM，Win7 32位操作系统。使用的仿真软件为Matlab R2013a。测试图像为512×512的Lena图像。参数设置为Arnold置乱变换迭代次数Na=90，p=q=2，Logistic-正弦映射初值x0=0.5,μ=4，加密前后结果如图4所示。

图4 Lena图像加密前后结果对比

通过图4结果对比可以看出，加密后的Lena图像完全掩盖了明文信息，与原图毫不相关，而解密结果则完全呈现了原图的信息，说明本算法加密效果良好。

4.1 相邻像素相关性分析

为了破坏目标图像像素间的相关性，本文利用改进后的Arnold变换矩阵置乱颜色分量矩阵，使颜色分量中的任意相邻像素点随机分布在整个图像空间中。为了验证本算法对相邻像素的置乱效果，从原始和加密图像的垂直、水平和对角3个方向上随机选择2500对相邻像素，计算相邻像素相关系数

(9)

(10)

(11)

(12)

表5、表6、表7分别为加密前后图像R、G、B在3个方向上的像素相关性。

表5 目标图像垂直像素相关性

表6 目标图像水平像素相关性

表7 目标图像对角像素相关性

相关性系数越接近于0，说明相邻像素的相关性越不明显，加密图像越难被破解，从上表可以看出本文加密算法加密后的图像的R、G、B这3个颜色分量平面的相关系数比其它3种算法都小，更接近于0，说明本算法的置乱效果显著，置乱替换后的加密图像相邻像素间的相关性很低。

选取R、G、B这3个颜色分量平面B平面3个方向上相邻像素灰度值，绘制像素相关性分布图，将本文算法与文献[17]进行对比，结果如图5所示。

图5 B平面像素相关性分布图对比

从上图可以看出，未加密前原Lena图B分量平面上3个方向的像素相关性明显，经过置乱替换加密后，本文加密图像B分量平面上3个方向的像素变得杂乱无章，相对比文献[17]算法，本算法加密后的图像的像素分散性更加均匀。

4.2 信息熵分析

信息熵可理解成某种特定信息出现的概率。图像灰度值均匀度与信息熵成正比

(13)

式中：p(xi)表示图像中灰度值为xi的概率，对于一幅灰度值256的图像，当所有灰度值等概率出现时，信息熵最大为8，侧面说明此时像素等概率出现，抗统计性攻击的能力越强。

通过表8对比原文信息熵与4种算法加密后的图像信息熵可知，4种算法加密后信息熵都有一定的提高，与其它3种算法相比，本算法加密后图像的信息熵更接近于8，说明本文算法能更好的抵御统计攻击。

表8 信息熵对比

4.3 明文敏感性分析

差分攻击是通过分析特定明文差分来尽可能获得密钥。算法对明文越敏感抗差分攻击能力越强。文章用像素数改变率NPCR(numberof pixels change rate)和归一化像素值平均改变强度UACI(unified average changing intensity)定量分析抗差分攻击，计算公式如下

(14)

(15)

式中：M、N分别表示图像的行列数，C1(i,j)、C2(i,j)表示明文在仅改变一个像素值情况下两幅密文图像。

表9 各算法明文敏感性对比

本文改变明文图像G颜色分量平面内的一个像素值，计算各算法的NPCR和UACI值，通过对比我们可以看出，本文的NPCR和UACI值普遍高于其它3种算法，这是由于本文利用中间密文和值进行扩散，任何像素值变化都会引起中间密文和值变化，再通过和值按位异或其它像素，就会影响其它像素。说明本文加密算法的扩散效果更优，更能抵御差分攻击。

4.4 密钥敏感性分析

好的加密算法不仅要对明文敏感，还要对密钥敏感。Arnold映射变换迭代次数和Logistic-正弦映射初始参数均可以作为密钥。为了验证本文加密算法对密钥的敏感性，在解密过程中，分别将Logistic-正弦映射初值x0增加0.00001和Arnold映射变换迭代次数减少1次，利用修改后的参数解密密文，结果如图6所示。

图6 密钥错误解密结果

图6结果显示，当Logistic-正弦映射初值x0和Arnold映射变换迭代次数不正确时，都无法还原密文，说明本算法对密钥具有较强的敏感性。

4.5 抗干扰分能力析

健壮的加解密算法可应对密文的残缺与噪声。本算法对密文噪声的鲁棒性进行了测试。将高斯噪声(均值0，方差0.05)混入加密后的密文中，测试各加密算法的抗噪能力，图7为各个算法抗高斯噪声的能力对比。

图7 各算法抗噪声能力对比

图7(b)～图7(e)分别为文献[1,16,17]和本文加密算法对含高斯噪声密文的解密结果，文献[1,16]的解密图像几乎没有还原原图的信息，文献[17]虽然大体上解密了原图的大体轮廓，但解密图像有含有较多噪声，而本文算法的解密结果不仅能大致上解密密文，解密图像中噪声污染较轻，说明本文加密算法具有较好的抗噪能力。

5 结束语

本文在借鉴前人研究成果的基础上，提出了一种图像加密算法。算法首先利用改进的Arnold变换矩阵置乱目标图像，使任意相邻的像素点随机分布在整个图像空间中，然后对明文图像进行DNA编码，利用Logistic-正弦映射产生更均匀、更大lyapunov指数的混沌序列，将其DNA编码后作用于目标图像的R、G、B这3个平面，利用依次DNA相加，差异化DNA编码的形式，置乱替换图像空间像素点，以此增大破译难度，解决目标图像相邻像素点的相关性，增强了抗统计攻击的能力。