学生怎样想 教师就怎样讲

张清华

“鸡兔同笼”问题的根本模型是二元一次方程组。小学教学鸡兔同笼的目的不是为了完美解题，是为了“育人”——培养小学生猜测、有序思考及逻辑推理的能力，感受数学文化，激发学习兴趣，提升小学生的数学素养。而日常教学中老师们还是囿于教解题模式，满堂灌。在这样的课堂上，教师教得很费力，学生学得很没劲。

怎样在“鸡兔同笼”的教学中激发学生的兴趣，培养学生的数学素养呢？关键是以生为本，学生怎样想，教师就怎样讲。

学生会怎样想——直觉、猜测、估算

四年级下学期的学生已能熟练地口算较简单的两位数乘一位数、两位数乘整十数，并能熟练地估算，这更促使了学生乐于去猜、去试。所以，当出示“鸡兔同笼”的原题后，应让学生的热情燃烧起来，让学生靠自己的猜测能力解决这个古代趣题。

快速地提问没有给学生留下思考的时间和空间，学生的情感没有释放出来。教师们常依照教材，将“鸡兔同笼”的原题撤下，并马上教列表法、假设法。这样教，没有尊重学生想猜、会猜的情感和能力，而是牵着学生的鼻子去套程序，为解题而解题。

猜测法是最直观、最朴素、最开放的思维方法，是科学发明必备的品质。新课标（2011版）指出：“学生应该有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”。

片断一：猜数

出示原题后，我请学生们猜：笼子里鸡多还是兔多？为什么？

生1：鸡比兔多，因为如果35只全是鸡就有70只脚，如果全是兔就有140只脚，70离94近一些，140离94太远了。

生2：如果鸡和兔对半分，假设都是17只，脚共有102只，也超过94了，说明兔应比鸡少。

师：17+17=34，不符合“上有35头”，的确是鸡多兔少！笼中到底有多少只鸡？ 多少只兔？

生1：假设30只鸡、5只兔，共80只脚。脚太少了，说明鸡猜多了，兔少了。

生2：那就假设25只鸡、10只兔，共90只脚。（5只、5只地算，是学生从小就常用的计算方式）

生3：90已很接近94了，就一只只地举；24只鸡、11只兔共92只脚；23只鸡、12只兔共94只脚，成功了！

学生在愉悦的猜测游戏中能准确地理解题意，提高估算能力，积累活动经验，感受到极端思想、逼近思想，得到积极的情感享受。并诱发学生深入地思考：猜来猜去，有规律吗？

教师应怎样讲——思想、文化、过程、兴趣

片断二：列表、假设

师：为了找规律，我们可以把每种情况都按顺序列举出来，但此题鸡和兔共35只，全列出来，有30多种，太多了，你有办法简化吗？

生：把只数改小一点。

师：好！（教材中的例1是白话文，师将其以古文出示）

例1.“今有雉兔同笼，上有八头，下有二十六足，问雉兔各几何？”

师：你对表格有什么疑问吗？

生：我对第一列和最后一列有疑问，因为是“鸡兔同笼”，鸡和兔都不能是0。

师：请看第一排数（填完后的表），有什么规律？（每次减1）第二排数有什么规律？（每次加1）第三排数有什么规律（每次加2）。

师：从整体上看，第一列和最后一列都符合规律，所以填上这两种极端的情况后才是完整的。你能利用表中的规律找到更简便的方法吗？（学生充分地思考、讨论后归纳假设法并列算式。假设全是鸡……）

师：这种假设全是鸡的方法，运用了数学里的极端思想，我们常常称为假设法。这种方法有什么优点？

生：不用一个一个地列举……

杜威说：“教育的过程是一个持续不断生长的过程”。教学中，猜数游戏激发了学生的内需——化繁为简、列表、找规律；通过列表，学生又迸发出了“假设法”的灵感。这样，学生经历了“假设法”的生长过程。若教师将“假设法”硬灌给学生，学生体验不到“自然生长”的快乐，就不会有“素养”的积累和提升，就背离了数学广角的初衷。

实际教学中教师很困惑：一节课的时间有限，是教猜测法？ 列表法？还是假设法？假设法是教一种情况、还是两种情况都教……

新课标指出：“编入一些拓宽知识或者方法的选学内容，增加的内容应注重于介绍重要的数学思想方法，而不应该片面追求内容的深度、问题的难度、解题的技巧”。我们要从学生身上找答案：学生需要什么？学生一节课能“富有个性地”学到多少？

显然，在小学教学“鸡兔同笼”，不是为了完美解题！教材只出现了假设全是鸡的情况，这符合学生的认知习惯——按从小到大的顺序思考，这样安排，降低了学习的难度。我认为这一环节是学生的思维从感性的猜测发展到理性的推理的一个过程。能力强的学生，思路可以走得远一些，可研究不同的解法，能力稍弱的学生不必勉强。只要学生尽兴了、投入了、思索了，学生的数学素养就在积极提升。

古代的“鸡兔同笼”充满童趣，今天的孩子也需要童年、童趣，还需要思想、文化。教學中，我用猜答案营造游戏的课堂氛围；用古文呈现例题，因为古文有韵律感，学生觉得好玩儿；用问题激励学生猜一猜，鸡多还是兔多？再猜一猜，鸡有几只？兔有几只？猜来猜去，有规律吗；用古人的研究开课，亦用古人的研究结束，学生呼吸着文化的气息，课上课下都充满好奇。

我们不受课堂的时空局限，也不要求统一的效果，更不需要“满堂灌”。因为我们不只是在求解 “鸡兔同笼”这道题，更是在研究和赏析“鸡兔同笼”的历史文化，希望人人都得到数学文化的熏陶。

（作者单位：华中科技大学同济医学院附属小学）