善用几何直观 助力解决问题

雷敏 孙迎娜

几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，帮助学生直观地理解数学，在数学学习过程中发挥着重要作用。

善用图示，寻找数量关系

在小学阶段，解决问题是孩子们学习的重点和难点，理清题目中的数量关系就成为解决问题的关键。借助几何直观，用画图的方式来呈现题目中的已知信息和所求问题，能够帮助学生更好地分析问题。

小学阶段用来帮助理解题意的图有很多种，最常用的就是线段图了。在我执教的一个关于分数解决问题的教学片段中，对同一幅线段图（如图），学生从不同的角度去观察，就能得出不同的解题思路：

解法1： 650×（1+[2/5]）

解法2：650+650×[2/5]

解法3：650÷5×（5+2）

这充分体现线段图在解决问题中的优势，仅仅只反映数量间最为本质的数量关系，从不同角度可以发现两个数量之间不同的内在联系，从而找到不同的解题方法。除了线段图，还可以借助其他图示来寻找更直接的数量关系。例如：人教版四年级上册有这样一道题：长方形绿地面积200平方米，宽度为8米，要求是长不变，宽增加到24米，求扩大后的绿地面积是多少？

题中说长不变，那可以先求出长，再乘新的宽，求出扩大后的绿地面积：200÷8=25（米）25×24=600（平方米）。虽然能解决这个问题，但是借助矩形图还可以更快捷。长不变，宽由8米扩大到24米，扩大到原来的3倍，相当于将绿地面积扩大到原来的3倍，就可以得出扩大后的绿地面积24÷8=3，200×3=600（平方米）。善于借助图示，可以找到更快捷的解题方法。

善用图示，突破难解之谜

动态呈现过程助理解

中高年级的很多问题难就难在题目往往是对一个动态过程的描述。由于是一个动态过程，中间的每一个数量都在不断变化，所以难以找到问题的突破口。善于利用示意图还原动态过程，是数学教学中常用的几何直观手段，化抽象为直观。

例如人教版五年级上册有这样一个题：小亮说“我的玻璃球是你的2倍”，小丽说“要是你给我3颗，我们俩就一样多了”，他们两人分别有多少颗玻璃球？

题目的描述不多，关系却难以理清楚，在画图的过程中可以还原动态过程，找到数量关系，从而找到解决问题的途径。学生不单单是解决这一个问题，而是学会分析解决这类问题的方法、手段，那才是学会了解决这一类问题。

图示显现结果助分析

只有从低段开始渗透几何直观的数学思想，让这种方式深入孩子们的内心，到了真正复杂的问题，学生才有可能把这个解决问题的工具拿来就用。

五年级上册总复习的一个练习题：某地举行长跑比赛，运动员跑到离起点3km处要返回起跑点，领先的运动员每分钟跑310m，最后的运动员每分钟跑290m，起跑后多少分钟这两个运动员相遇？相遇时离返回点有多少米？

如果学生不画图，题目描述复杂使问题更抽象。即使有的孩子想到是相遇问题，但也容易把总路程当成一个全长。有了图就不一样了，这个图将两个人的运动轨迹进行了动态地刻画，对比较复杂、抽象的问题进行了形象地描述。

有了直观的感知，学生很容易看出相遇时两个人的总路程是2个全长，用总路程÷两人的速度和=相遇的时间，知道了相遇时间，再求相遇时距返回点多远，既可以用跑得快的人减去一个全长，也可以用全长减去跑得慢的人的路程。

如果学生想到画图，那思考问题就有了方向；如果学生会画图，那就找到了难点的突破口，就抓住了问题的关键，解决问题就可以水到渠成。

善用图示，验证反思结果

在不断地解决问题中，学生会形成一定的知识经验，或者说形成一定的思维定式，如果只是凭借经验去解题，缺乏对问题的反思与检验，很容易走進一个误区，也容易造成分析问题不全面、不严谨。

善于利用几何直观可以对已有的解决问题方法进行检验，形成完整严谨的逻辑思维。例如学习面积单位之间的进率时，我们遇到一个问题：在一个长50厘米，宽10厘米的长方形布上能剪出多少个同样的三角巾，直角三角巾的两条直角边分别长10厘米、4厘米。学生已有的经验是看大长方形里有多少个直角三角形，很容易列出算式10×50÷（10×4÷2）=25个，可是这样到底对不对呢？我们可以画图验证。

通过动态想象，我们会发现50÷4≈12（个）……2（厘米）12×2=24个。本题仅仅依靠除法的含义是不能正确解答的，更要在脑海中动态想象生成过程。

有了这样的几何直观经验，也慢慢有了质疑反思的精神，学生在学习立体图形时，就不会单刀直入，就会在头脑中想象进行的过程。

例如在五年级下册体积单位进率中，有一个练习题：“食品厂工人要将长、宽各为15cm，高为5cm的长方体月饼盒装入棱长为20cm的正方体纸箱，最多能装几盒？当有学生以为是用大体积除以小体积时，20×20×20÷（5×15×15）≈7（个），立刻有学生指出实际操作的限制性，教师借助动态演示发现答案只能是6个。让学生顿悟在思考这类问题时要想象出真实的摆放过程，正常摆放后还要尽量利用剩余空间。

就在学生以为只要正常摆放后考虑剩余空间就可以了，我又出示了一道题：爸爸买了一个长30厘米，宽20厘米，高15厘米的长方体礼盒，里面装有妈妈爱吃的长方体形状的花生酥。每块花生酥长5厘米，宽3厘米，高2厘米，最多能装多少块花生酥？如果学生仅仅是考虑到正常摆放充分利用剩余空间那还不能得到最多的情况，学生的思维再一次被冲击，怎么办？改变花生酥的摆放方向，需要将花生酥的宽对礼盒的长，高对宽，长对高，那么就得到30÷3=10（块）20÷2=10（块），也就是说一行有10块，共有10行，第一层有100块，15÷5=3（层）10×10×3=300（块）。

学生的思维进一步发展，那由此及彼，还可以怎样放呢？学生的思路被拓展，还可以将花生酥的长对礼盒的长，高对宽，宽对高，（30÷5）×（20÷2）×（15÷3）=300（块）学生的思维能力就是在这样一次次认识、理解、打破认识中不断发展。

小学阶段，解决问题的类型复杂，题目多变，如能善用、巧用几何直观的策略，突破难点，更好地理解题意，理清数量关系，简化数量间的关系，突破教学中的重点，破解学生的学习难点，必能事半功倍，让学生体会到更多的数学乐趣，使学生爱上数学。

（作者单位：雷敏，武汉市江汉区大兴路小学；孙迎娜，武汉市江汉区红领巾学校）