单广播IC并存网络分析

刘坤，刘锋，曾连荪

（上海海事大学信息工程学院，上海 201306）

0 引言

随着通信行业的发展，多输入多输出技术（Multi-Input Multi-Output，MIMO）[1]已被广大学者所熟知，其空间复用技术在高的信噪比下可以很大地提高系统的信道容量，而且还能够在无法知道系统信道信息的情况下使用。传统的SISO系统因其系统容量和信道利用率的局限性已逐渐被MIMO系统取代。但是，对无线网络系统容量的研究是非常困难的。因此，提出了空间复用增益的概念，以解决系统容量不能准确表达的问题。空间复用增益技术是在发射端将数据流分成多个平行的子数据流，并且在同一频带上使用不同的天线同时发射出去，充分利用空间传播的多径分量。但也不是无限制地增加天线的数量来增加多径分量。由于当下天线集成技术的限制，只能在收发端配置合理的天线数，提高系统的天线效率。

BC（Broadcast Channel）[4-6]、MAC（Multiple Access Channel）[7]、IC[8-10]以及 XC（X Channel）[11-13]通过迫零[2]和干扰对齐[3]等方法，得到了它们单播方面的系统空间复用增益。多播网络的研究也已取得了很大的进展，例如文献[14]解释了MIMO X网络的自由度的空间尺度不变性和单侧可分解性。在文献[15]中具体介绍了上行链路大规模MIMO-OFDM系统中能量与频谱效率的权衡分析，该方案为如何提高频谱能量效率提供了参考。文献[16]做了关于完善/不完善CIS下单播/多播MIMO网络的多小区协作波束成形技术的研究。但是有关单播与多播并存的网络研究相对较少，因此本文提出单播IC信道和广播IC信道并存组成的多网模型。对干扰消息的处理有很多种方法，例如干扰中和、干扰对准和迫零等，本文实现消除干扰的方式是零空间的交的迫零方案。

本文主要研究单广播IC的共存网络的空间复用增益，这是一种新的IC信道模型。采用迫零方案结合零空间的交，将来自同一接收机的多个干扰消息放置在相应的零空间的交空间中，以便同时实现迫零多个干扰消息。本文给出了该模型的最优天线配置方案和空间复用增益结果。使用MATLAB对系统进行仿真分析，验证了模型的正确性和方案的可行性。

1 系统模型

本文研究的单广播IC并存网络系统模型，如图1所示。由上往下，第一条虚线上的第一个单广播IC网络称为主网，其余虚线下的均为次网。主网除第一个发送端发送单播和广播消息外，其余发送端均只发送单播消息。图中W表示广播信号，S表示单播信号。此外，共有N个单广播IC网络并存，并且并存网络的用户数分别是K1,K2,…,KN。每个接收机接收相应发射机的单播消息，并接收自身网络的广播消息，例如主网络的第一接收机，W11和S11是期望消息，剩余的消息都是干扰消息（图中未画出），其他接收端与其类似。故对整个网络模型而言，每个接收者总共收到(K1+K2+…+KN+N)个消息，其中有2个期望消息，其他(K1+K2+…+KN+N-2 )个为干扰消息。

图1 单广播IC并存网络模型

主网和次网中期望消息和干扰消息简要说明：主网K1个发送端发送{S11,S12,…,S1K1}共K1个单播消息和第一个发送端发出的广播消息W11，接收端1共接收到来自主网和次网的所有消息(K1+K2+…+KN+N)个，其中{W11,S11}是2个期望消息，其余均为干扰消息。主网中其余接收端的接收情况与接收端1类似。次网的发送端和接收端与主网相似，这里不再赘述。

可以得到本文提出的单广播IC并存网络模型的的输入输出关系为：

其中Yi表示第i接收机的输出信号，维度为2×1，Hij表示第j发射机到第i接收机的信道矩阵（j，i=1,2，…，），维度是 2×M，Zi是 2×1维的均值为0，方差为σ2的加性高斯白噪声，Xj表示该模型第j发射机的发送信号。

本文将空间复用增益定义为系统的接收端所能够解码出的期望消息的总数，系统空间复用增益的大小能够衡量系统的容量大小，是判断一个系统的性能好坏的重要指标。另外给出天线效率的定义：空间复用增益（d）与系统所用收发端天线总数（n）的比值，即：

根据系统的天线效率，可衡量一个系统的天线的利用率，也是判断系统的性能优劣的重要指标。

2 方案设计

这里采用零空间的交的迫零方案来分析本文的系统模型，分析怎样从带有干扰的消息中析出期望消息，从而得到系统的空间复用增益。为了方便进行理论分析，这里先从2用户的模型开始讨论。

2.1 N= 2,,K1=K2=2

图2 两用户单广播IC并存网络模型

因为IC信道中用户数最少为2，因此先分析2用户单广播IC网络并存2用户单广播IC网络的简单系统模型。根据文献中“接收多少期望消息配多少天线”原则，接收端的天线数应为2，发送端天线数是未知的M根。由公式（2）知该模型下的接收端信号Yi，i,j=1,2,3,4。现对发送端消息进行预编码，每个发送端经过一个预编码矢量矩阵F使接收端的干扰信号迫零，经过预编码后的每个接收端的接收信号可表示如下：

其中Fj表示第j发送端的预编码矢量矩阵，Qj表示第j发送端的发送信号。

该模型采用迫零方案来处理干扰消息，从而得到期望消息。主网中第一个接收端的期望消息是{W11,S11}，干扰消息为{W21,S12,S21,S22}；其他接收端消息与之类似。以上分析可知，S11是第2,3,4接收端的干扰消息，所以把它放在H21,H31,H41的零空间的交空间中。

首先给出零空间的交引理[17,18]，如下：

引理给定两个矩阵A∈Cm×n和B∈Cg×n，若令，则Cx=0↔Ax=0和Bx=0 ，即 C 的零空间的交空间Null(C)=Null(A)∩Null(B)。

由引理得出信道矩阵的零空间的性质。设(m+g)×n的矩阵C的秩为r=rank(C),因为至少得存在一个零空间的交，故有n-r≥1。但是已知C是满秩的，有r=min(m+g,n)，由此可以推出r=m+g。综上可以得到零空间的交空间性质：n≥m+g+1。

并且若(m+g)×n矩阵C的秩为r=rank(C)，则它的右奇异向量{ }V1V2…Vn中，与n-r个零奇异值对应的右奇异向量{Vr+1Vr+2…Vn}构成零空间的交空间Null(A)∩Null(B)的标准正交基。因为在整个系统模型中，主网和次网各自的广播消息不是本网络的用户的干扰消息，而单播消息是不同的。这里只对单播消息进行分析。由以上引理可知单播消息S11零空间的交，同理可到其他单播消息的零空间的交，维度均为6×M，根据零空间的交的性质可得M=7。

由零空间的交可设计发送端的预编码矢量，单播消息的是fi=null(Li)，广播消息的是f01=null(L01)，f02=null(L02)。再对Li进行奇异值分解由引理可知Li的秩为6，它的右奇异向量V1，V2，V3，V4，V5，V6中，与1个零奇异向量V6构成零空间的交的标准正交基。因此得到预编码矢量满足：fi=，表示取矩阵Vi的第六列。

因此可以得到该模型下的空间复用增益为8。

2.2 NN网并存，K1,K2…KN用户

上面分析了2用户单广播IC网络并存2用户单广播IC网络的系统模型，其天线配置都是假设情况下的，下面分析一般条件下的天线配置方案和系统的空间复用增益。

（1）最优天线配置

这里将接收机的天线数量配置为和它接收的期望消息的数量相等，接下来着重分析发射机的天线是如何配置的。

定理对于N个单广播IC网络共存模型，其每个网络用户数分别为K1,K2,…,KN，则每个接收机至少要配置两根天线，每个发射机最少要配置2(K1+K2+…+KN)-1根天线。

证明以主网的第一个接收端为例进行分析。单播信号S11只被本网络中第一个接收端接收，对其余K1-1个接收端和N-1个次网均为干扰信号，因此可以将其置于其信道零空间的交中，其零空间的交的维度为2(K1+K2+…+KN-1)×M，从引理和相关结论可得M≥2(K1+K2+…+KN)-1，M为发送端的天线数。其他次网的收发端天线配置与之相似。

（2）干扰处理分析

针对接收端的干扰消息处理问题，采用接收端迫零方案，最主要的在于要把干扰消息放在零空间的交空间中，从而只留下期望消息。

这里和之前一样只分析主网，次网分析与之类似。可得到单播消息零空间的交空间Li，例如：主网第一个发送端的单播消息S11的零空间的交L1=[H21H31…HK11H(K1+1)1…H(K1+K2+…+KN)1] ，然 后 对Li进 行SVD分解根据引理和定理，可知Li的秩为R=2(K1+K2+…+KN-1)。右奇异向量Vi（1,2…，R）中，与M-R个零奇异值对应的右奇异向量VR构成公共的零空间的标准正交基，因此可得到预编码矢量的关系：fi=,表示取矩阵的第R列。广播消息的预编码矩阵分析与单播消息类似，这里不再赘述。通过定理可得到系统的空间复用增益d=2(K1+K2+…+KN)。经过以上分析可合理地设计收发端的预编码矩阵，从而每个接收端可以实现消除干扰的同时得到所期望的消息。

（3）复杂度分析

根据以上对天线的配置的方案和消除干扰的方案，接下来对系统的复杂度进行分析。根据矩阵理论可知：对于秩为r的m×n的矩阵A，对A进行SVD分解或求广义逆，其复杂度为O(mnr)；同时对于m×n的矩阵A和n×p的矩阵B，两者相乘的复杂度为O(mnp)。

这里假设T=K1+K2+…+KN。前面已知零空间的组合矩阵维数为2(T-1)×M，对其进行SVD分解，则每个发射机对应的波束成形矢量计算过程的复杂度为O(2(T-1)2M)。其中M为发射机最小天线数，即M=2(K1+K2+…+KN)-1=2T-1。主网络的所有发射机共发 (K1+1)个消息，得到复杂度CT1=O(4K1T3+2K1T2)，同理得到其余网络的复杂度CT2,CT3,…,CTN，所以发射机总的复杂度为CT=CT1+CT2+…+CTN，即：

接收端通过使用Hij*F的广义逆实现线性编码方案，其中Hij维度为2×(2T-1)，主网络各波束成型向量 的 维 数 分 别 为(2T-1)×2 ，(2T-1)×1，… ，(2T-1)×1，求得各自的复杂度后进行广义逆计算，然后将计算结果相加得到复杂度为O(K1T2)；同理可计算其余网络接收机的复杂度，因此通过计算Hij和F相乘的复杂度，再对HijF进行广义逆计算，最后将所得结果相加，即可得到每个接收机的复杂度，CR=O(K1T2)+O(K2T2)+…+O(KNT2)，即：

所以系统总的复杂度为C=CT+CRT，将公式（4）和（5）代入并整理得：

3 仿真分析

根据以上方案分析，本节使用MATLAB对系统模型进行了仿真分析。

3.1 系统空间复用增益

假设每个信道是不相关的瑞利衰落信道。发射机功率为P，发射机允许每个用户在满足总功率限制的情况下具有相同的发射功率。假设所有用户的接收机的噪声方差为σ2，每个发送端已经知道全部用户的无差错的等效信道状态信息。

用户i的单播消息数据流经过一系列方案的作用后，接收信噪比可表示为，

接收端i的广播信号的和速率为：

接收端i的单播消息的总和速率为：

因此整个系统的总和速率为：

下面使用MATLAB对系统的总和速率进行了仿真，横坐标信噪比SNR的单位是dB，每条直线段的斜率和其相应的系统空间复用增益为10倍关系。

首先选择实验数据。选取了并存网络个数和每个网络中用户数不同这两种情况，将统计的不同模型的空间复用增益展示到图中，因此得到如图3所示的仿真结果。

图3 多用户模型和速率与信噪比SNR关系

图3中(A,B,d)各个符号的含义分别是：A表示有多少个IC网络并存，B表示每个网络的用户数，d表示理论上系统的空间复用增益。

由图 3 中曲线 1、2、3（或曲线 4、5、6）可以看出，当并存的网络个数保持不变时，空间复用增益随着用户数的增加而增加；当用户数不变时，如曲线1、4所示，空间复用增益随并存网络的个数的增加而增加。由此可知，实验所得结果与理论值基本保持一致。

3.2 系统的天线效率

因系统的空间复用增益为d=2(K1+K2+…+KN)=2T，系统所用总的天线数为n=T(2T-1)+2T，则系统的天线效率可表示为：

根据公式（11）可知，天线效率会随着用户数的增加而逐渐减少，当T取最小值时，可以得到最大的天线效率。因IC信道中用户数最少是2，故T最小值等于4，所以最大天线效率为0.222。

同样在MATLAB上进行仿真验证，所得数据统计如图4所示，其中横坐标T表示用户数，单位是个；纵坐标是系统的天线效率。

由图4可知，随着T的逐渐增加，系统的天线效率会逐渐减小，当T取得最小值时，系统可获得最大天线效率。在设计单广播IC并存网络时，应根据工程需要适当改变用户个数，从而获得较为合适的天线利用率。

图4 系统天线效率图

4 结语

在单广播IC并存的网络模型中，使用将多个干扰消息放置在零空间的交的迫零方案来消除干扰，通过发送端合理地设计预编码矩阵，使得用户能够得到期望信号，提高系统的和速率。由于当前研究有关单广播IC并存网络的较少，该模型也为单广播并存网络模型的深入研究提供了可以参考的理论依据。通过分析得到了该模型下的最优天线配置，以及如何合理地获得所期望的天线利用率。下一步工作可将本模型下的广播和单播消息数扩展得尽可能地多，以及将此方案应用到其他信道的并存模型当中，用以使用不同的应用场景。