缩小范围，避免讨论

尤佩泉

摘要：“含参数不等式”恒成立问题是历年高考的热点题型，灵活多变、思辩性强。通过一题多解，对其进行探究，总结出解题的思维和方法，从而发展思维能力和思维素养，是学生掌握数学、学会“数学地思考”的关键。

关键词：含参数不等式；缩小范围

一、引例探究（浙江省名校新高考研究联盟2016届第一次联考21题）：

已知函数（R），若对任意 恒成立，求实数α的取值范围.

分析：这是一道含参不等式恒成立的常见题型，对此类问题的解析常见有以下几种解法：

解法一（分离参数法）：因为在[-2， -1]上恒成立，即在[-2，-1]上恒成立，令，则在[-2，-1]上恒小于0，所以g（x）在[-2，-1]上为减函数，g（x）max ，所以。

解法二（参数讨论法）：

（1）当时，在[-2，-1]上恒成立，故f（x）在[-2， -1]上单调递增，即。

（2）当时，令，对称轴x=-1，则u（x）在[-2，-1]上单调递增，又。

①当，即时，在[-2，-1] 上恒成立，所以f（x）在[-2，-1]单调递增，即，不合题意。

②当时，，不合题意，舍去。综上所述：。

解法三（缩小范围法）：

由题意得，，即。

，因为，

所以恒成立，故f （x）在[-2，-1]上单调递增，要使恒成立，则，解得。

二、解后反思：

第一种方法是将原不等式中的a与x进行分离，得到如 形式的不等式，再把求a的取值范围问题转为求g（x）的最值问题，解题思路简单明了，这方法称为“分离参数法”，是处理恒成立问题的常用方法。但本例求导及判断单调性难度较大，学生不易掌握。第二种解法是通过对参数的讨论，利用二次函数图象和性质，求参数在不同范围时函数最值，利用最值解决恒成立问题，同时体现分类讨论的数学思想，要求学生有较高的数学思辩能力，此方法称为“参数讨论法”。第三种解法是直接从已知条件出发，根据题中所给自变量范围，缩小参数的范围，利用函数单调性确定最值，这样可以避免讨论或者减少讨论，使要解决的问题由复杂变为简单，不失为解决此类问题最佳的选择，笔者称之为“缩小范围法”。

三、深入推广：

1、设函数

（1）求f （x）的单调区间；

（2）求所有实数a，使对[1，e]恒成立。注e为自然对数的底数。

解：（1）因为，定义域为 所以，由于 ，所以f （x）的增区间为（0，a）；減区间为。

（2）由题意得，。由（1）知，f （x）在[1，e]内单调递增，要使对恒成立，只要且 解得。

2、设函数

（1）当时，函数 处有极小值，求函数h （x）的单调递增区间；

（2）若函数f （x）和f （x）有相同的极大值，且函数在区间上的最大值为-8e，求实数b的值。（其中e是自然对数的底数）

解：（1）

的单调递增区间是。

（2）函数g（x）的极大值为0，且b<0

而，

所以f （x）的极大值为

则 根据题意得

所以函数p（x）在[1，e2]上单调递减，p（x）的最大值为

上述两题的第二问都是含参不等式恒成立问题，我们从所给自变量范围出发，根据题设条件，缩小参数范围，避免复杂讨论，使解题过程更为优化，更加清晰，是学生易于掌握的解题思路，值得探究。

四、总结规律：

本文所探讨的“含参不等式”恒成立问题是已知不等式在未知数的某一范围内恒成立，求参数的取值范围，通常有三种解法，第一，分离参数法，第二，参数讨论法，第三种解决办法是理清题意，确定参数的取值范围，以避免讨论或缩小讨论范围。

以一道典型的试题为载体研究解题，通过一题多解，总结出解题思维和方法，解题的目的不只是为了获得答案，而是从解题过程中，发展思维能力，提高数学素养，对题目进行研究是数学学习中不可或缺的核心内容，数学解题的思维实质是发生数学而不是“规则的简单重复”或“操作的生硬执行”，这是掌握数学、学会“数学思维”的关键。