绳球模型与杆球模型

摘要：绳球模型与杆球模型作为竖直面内圆周运动的典型，在高中物理分析综合能力考查中属于重点内容，也是难点内容。本文就带大家一起来从根本上认识它们。

关键词：高中物理；绳球模型；杆球模型

绳球模型与杆球模型作为竖直面内圆周运动的典型，在高中物理分析综合能力考查中属于重点内容，也是难点内容。它常常与能量观点综合运用，用于解决实际生活中的诸如过山车、水流星等运动。因此正确认识、区分、理解这两种模型十分重要，本文就带大家一起来从根本上认识它们。

首先来看看它们的相似之处。

两种模型“外貌相似”：如下图（1）轻绳L一端栓结可视为质点的小球m，另一端绕水平转轴O在竖直面内转动即为绳球模型；将轻绳换作轻杆即为杆球模型图（2）。“向心力的来源相似”。讨论小球向心力的来源，都是轻绳（或轻杆）的作用力与小球重力的合力沿半径方向的分量来提供。

绳球模型与杆球模型如此相似，难道就是一个字的差别？它们究竟有哪些区别呢？

首先从根本上讲，轻绳与轻杆提供的力不一样：轻绳只能给小球提供沿着绳并指向绳收缩方向的拉力，而轻杆既可以给小球提供向圆周内的拉力，也可以提供向圆周外的推力，甚至它提供的力可以不沿着轻杆自身。其次约束情况不一样：轻绳对球产生了单面约束，即小球不能跑到半径为L的圆周以外，但可以跑到半径为L的圆周之内，轻杆对球产生了双面约束，小球既不能跑到半径为L的圆周以外，也不能跑到半径为L的圆周之内，只能在半径为L的圆周上运动。其三小球运动情况不一样：绳球模型中小球不能实现竖直面内匀速圆周运动，只能是一般圆周运动，杆球模型中小球能够实现在竖直面内匀速圆周运动。第四做功情况不一样：轻绳对小球不做功，小球机械能守恒，而轻杆可以对小球做功改变其机械能。

最后，小球在最高点的临界条件不同，这点是常考点。（默认向下为正方向）绳球模型小球在最高点时：mg+T=mv2L，其中T≥0，因此mg≤mv2L，即有v≥gL，故绳球模型中小球过最高点时的最小速度为gL。而对于杆球模型小球在最高点时：mg+F=mv2L，其中F>0，F=0，F<0都可出现。当F>0（即轻杆提供向下拉力）时有mggL；当F=0（即轻杆恰不提供力）时有mg=mv2L，即有v=gL；当F<0（即轻杆提供向上推力）时有mg>mv2L，即有v

下面我们通过一典型例题加以理解：如图所示，质量为m小球从斜面AB上的A点由静止下滑，通过水平轨道BC后进入半径为R的半圆轨道CD，恰好通过圆弧最高点D，斜面AB與水平轨道BC在B处通过一小段光滑圆弧轨道连接。一切摩擦不计。求：（1）小球从静止开始下落时的高度h。（2）小球经过半圆轨道的最低点C时对轨道的压力。（3）其他条件不变，仅将CD段改成粗糙圆管道。小球从高度h=52R静止释放恰好通过最高点D。求粗糙圆管道对小球做的功。

分析与解答：竖直面内圆弧对小球的作用力只能是沿着半径指向圆心的，因此属于绳球模型，故

（1） 在D点，设小球的速度为vD，则有mg=mvD2L∴vD=gL

小球由A运动到D点的过程，由机械能守恒得：mg（h-2R）=12mv2D∴h=52R

（2） 小球由A运动到C点的过程，由机械能守恒得：mgh=12mv2C

通过C点时，有N-mg=mv2CR联立上两式解得，N=6 mg

则根据牛顿第三定律得：小球经过半圆轨道的最低点C时对轨道的压力大小为6 mg，方向竖直向下.

竖直面内圆管道对小球的弹力既可以指向圆心也可以背向圆心，因此属于杆球模型，故

（3） 在D点，小球的速度为0。小球由A运动到D点的过程，由动能定理得：

mg（h-2R）+Wf=0-0∴Wf=-12mgR

即粗糙圆管道对小球做了12mgR的负功。

通过题例我们可以看到，处理绳球模型和杆球模型的切入点是认真对小球进行受力分析，然后分清属于哪一个模型，找准小球向心力的来源，列出牛顿第二定律式，注意结合能量观点解决问题。

作者简介：

叶巧英，江苏省南京市，江苏省六合高级中学。