浅谈均值不等式的应用

摘要：在我们的生活和生产中，量有相等关系，也有不等关系，凡是比较量的大小的有关问题，都要用到不等式的知识来解决。不等式在初等数学中是一个比较难的知识，却是解决数学问题的重要工具，其中均值不等式更是主要的工具。本文主要例说均值不等式在初等数学中的实际应用，通过对均值不等式的学习，逐渐认识到均值不等式的重要性，并且利用均值不等式去证明更多的不等式，这不仅能提升学生的解题能力，也能增强学生的思维能力。

关键词：均值不等式；初等数学；不等式应用

《普通高中数学课程标准·数学》必修5将二维均值不等式纳入了新的课程中，意味着二维均值不等式进入了教材，进入了学生的学习过程中。在应用均值不等式解题中，让学生学会如何看问题、想问题和解决问题，更多的让学生自己去悟，强化学生的数学应用意识和掌握如何运用已知结论的基本方法。

一、 均值不等式的形式

设a1，a2，…，an为n个正数，则Hn≤Gn≤An≤Qn，称为均值不等式，其中Hn=n1/a1+1/a2+…+1/an，Gn=（a1·a2·…·an）1n，An=a1+a2+…+ann，Qn=a21+a22+…a2nn，分别称为a1，a2，…，an的调和平均数、几何平均数、算数平均数、平方平均数。这四种平均数仅当a1=a2=…=an时取到等号。

常见的均值不等式：（1）a2+b2≥2ab，（a，b∈R），當且仅当a=b时，“=”成立；

（2） a+b≥2ab等价于ab≤（a+b2）2（a，b∈R+），当且仅当a=b时，“=”成立。

二、 均值不等式的具体应用

1. 代数方面

各省的高考试题中对均值不等式的考查，均以最值问题为背景，利用均值不等式求最值问题是考生必须掌握的基本技能和重要的解题方法。

例：已知x，y，z∈R+，求μ=xy+2yz+xz2x2+4y2+4z2的最大值。

解：由题可得

μ=xy+2yz+xz2x2+4y2+4z2=xy+2yz+xz（x2+2y2）+（2y2+2z2）+（x2+2z2），

而x2+2y2≥2x2·2y2=22xy，2y2+2z2≥22y2·2z2=4yz，

x2+2z2≥2x2·2z2=22xz，所以μ≤xy+2yz+xz22xy+4yz+22xz=24

当且仅当x2=2y2=2z2时取“=”所以μ的最大值为24。

本题是多变量求最值问题，变量个数多且不易消元，而变量又都是正数，因此考虑利用均值不等式进行化简，有了方向就可以轻松化简，利用均值不等式求出最值，最后注意取等号的条件。

2. 几何方面

立体几何的最值求解时很多时候都要用到均值不等式，其中怎样建立等式是解题的关键点与难点。

例：要建造一个体积为60且有盖的圆柱形蓄水池，这个蓄水池的高，地面半径各取多少时用料最省？

解：设圆柱的高为h，地面半径为r，根据圆柱的体积公式V=πr2·h

∴h=Vπr2=60πr2，而圆柱的全面积公式为S=2πr2+2πrh

S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr60πr2=2πr2+120r=2πr2+60r+60r≥32πr2·60r·60r=15358π

当且仅当2πr2=60r，即r=330π，此时h=2330π，即r=h2时，S有最小值。

所以蓄水池的高取2330π，底面半径取330π时，用料最省。

本题题意不难，难的是怎么样将等式进行转化，从而利用均值不等式来求解，通过检验，得到最终的结果。

三、 小结

均值不等式作为一个应用非常广泛的不等式，在各种题型中都起着举足轻重的作用，而它最常见的应用就是求解最值问题，但在应用之前应注意应用它的前提条件，应用过程之中注意取等号的条件。通过对均值不等式的学习，逐渐认识到均值不等式的重要性，并且利用均值不等式去解决相应的问题。

参考文献：

[1]韩京俊.初等不等式的证明方法[M].哈尔滨工业大学出版社，2011.

[2]刘建中.浅谈均值不等式在求函数最值中的应用[J].辽宁省抚顺一中，2011.

作者简介：

王婉心，四川省南充市，西华师范大学数学与信息学院。