圆排列的求法及应用举例

徐庆斌

【摘 要】 圆排列不同于线排列，本文通过几个典型的圆排列的应用举例，试图探究一些简单的圆排列的求法。

【关键词】 圆排列；求法；应用

近几年在高考模拟及数学竞赛中经常出现有关圆排列的问题，由于在圆排列问题中，只有在元素不同或元素相同，但顺序不同时，才是不同的排列，与线型的排列不同，这样给求解带来很大的难度。解题中用常规的方法也很难凑效。

首先，要对圆排列进行初步的认识，对于初学者来讲，要弄清什么是圆排列，圆排列有哪些特点。

（1）由n个元素中，每次取出m个元素排成一个圆构成的排列，叫做一个圆排列。

（2）圆排列有三个特点：（i）无头无尾；（ii）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列。

通过以下问题探究圆排列的问题的解法。

一、没有附加条件的圆排列

例1：由五个不同的珠子串成一个圆环，有多少种排列？

解析：由五个不同的珠子串成一个圆环，正面有4！种。但圆环反过来，另一面如果和正面的顺序相反，也是同一排列，故共有排列数为■=12种。

注意：任意一个正反面不同的圆排列，一定存在一个圆排列是它的反面，这个反面的顺序和正面不同，刚好和正面中位置相反的一个排列是相同的，在考虑圆排列时需要注意这一点。另外，由于圆环的转动，虽然位置发生了改变，但其相邻的位置都没有改变，它们还是同一个排列。

例2：有10个学生，从中抽出5个学生围成一圈做游戏，问有多少种不同的排列方式。

解析：从10个学生抽取5个按顺序排列有A105种不同的排列，但是围成的是圆环，无头无尾，因此还应除取5，即有■=6048种组合方式。

二、有附加條件的圆排列

例3：将12个学生任意排成一个圆圈做游戏，求恰有两人排在甲、乙之间的排法有多少种？

解：该过程可以分为两个阶段进行，选10个学生中的任意两个学生排在甲、乙之间，并作直线排列，有2A102种不同的排法。当恰有两人排在甲乙两人之间的一种排法取定之后，把这四个人的这种排法看成一个整体，再与剩余8个学生一起任意排成一个圆圈，并注意到要考虑顺逆时针方向，可求这种圆排列的种数为■，显然，第一个阶段的任一种排法与第二阶段的任一种排法搭配都可以成整个过程的一种排法，因此，所求排列数是■=20×9！=7257600。

例4：有5对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人都相邻的排列有多少种？

解析：本例中可优先考虑男士或女士一方，先做一个圆排列，然后，再插空处理剩余一方必须相邻。

第一步：先由五个丈夫先排成一个圆，其排列数为4！=24种。

第二步：由每个妻子依次在丈夫身边的两个位置选定其中的一个有32种。所以构成圆排列数为24×32=768种。

小结：在圆排列数中：

（1）n个元素围成一圈其圆排列数为（n-1）！

（2）在n个元素中，每次取出m个不同的元素进行圆排列，圆排列数为■。

（3）当从n个相异的元素中，每次取出m颗串成一个圆环，因其正反相对的两个圆排列在串成一个圆环时完全相同，故圆环数为■。对于较复杂的问题，可适当采用分步插入、捆绑及利用种数公式处理。

【参考文献】

[1] 黄友谊. 圆排列的相嵌与组合的分类枚举[J]. 数学学习与研究，2010（21）.