“和差化积”在抽象矩阵运算中的应用

郭竹梅

（安徽科技学院信息与网络工程学院，安徽 凤阳 233100）

矩阵在线性代数中具有举足轻重的地位，矩阵的运算更是当代大学生必须熟练掌握的运算。“和差化积”是抽象矩阵运算中的常用手段，它可以大大简化抽象矩阵的运算，下面从两个方面来说明“和差化积”在线性代数中的应用。

1　抽象矩阵的行列式

此类题目经常采用矩阵的运算性质和某个矩阵左乘或右乘一单位矩阵把“矩阵和差”化为“矩阵乘积”，见下面的例1，例2。

例1[1]设A，B为3阶方阵，且|A|＝3，|B|＝2，|A－1+B|＝2，求：|A+B－1|。

解：由矩阵的运算性质可得，A+B－1=A（A－1+B）B－1，

例2[2]设A为n阶方阵，n为奇数，且AAT=En，|A|＝1 求|A－En|。

解：由于|A－En|＝|A－AAT|=|AEn－AAT|=|A(En-AT)|=|A(EnT-AT)|=|A(En－AT)|=|A|·|(En－A)T|=|A|·|En－A|=|En－A|=|－（A－En）|=（－1）n|A－En|=－|A－En|（n为奇数），

所以2|A－En|=0，从而|A－En|=0。

二、抽象矩阵的逆矩阵

此类题目经常采用“因式分解”或左乘和右乘单位矩阵的技巧把“矩阵和差”化为“矩阵乘积”，见下面的例3，例4。

例3 设n阶矩阵A满足2A（A－En）=3A3，证明：En－A可逆，并求（En－A）－1。

证明：由2A（A－En）=3A3可得，3A3－2A2＋2A＝0，从而有3A3－2A2＋2A＝（A－En）（3A2＋A＋3En）＋3En=0，即（A-En）（3A2＋A＋3En）＝-3En从而，

所以En－A可逆，且

例4设n阶矩阵A,B,AB－E为可逆矩阵，证明：

（1）A-1－B可逆，并求其逆；（2）（A-1－B）-1+B-1可逆，并求其逆。

上述给出了“和差化积”在抽象矩阵行列式和逆矩阵中的应用，事实上，这两方面的综合题目也可以用“和差化积”来解决，见下面的例5，例6。

例5 设n阶矩阵A和B满足A2=En，B2=En，|A|＋|B|＝0证明：|A＋B|＝0。

证明：由A2=En，B2=En，|A|＋|B|＝0可得，

例6设A是n阶实对称矩阵，且满足A2-3A=0，R（A）＝k，求|A＋2E|。

解：由A2-3A=0可得A的特征值只能是0或3，

又A是n阶实对称矩阵且R（A）＝k，所以A与n阶对角矩阵Λ相似，且R（Λ）＝k，

从而3是A的k重特征值，0是A的n-k重特征值，即存在可逆矩阵p，使得

3　结语

对于抽象矩阵的运算，“和差化积”是一种非常有效的方法。从上述例题可以看出，通过矩阵的性质对算式进行恒等变形、“因式分解”、左乘或右乘单位矩阵等技巧可以大大简化抽象矩阵的运算。因此，教师在教学过程中应引导学生从抽象的高度去解决问题，以达到培养学生发散思维的目的。