基于分布式自适应方法的多智能体系统的包容控制

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(浙江理工大学机械与自动控制学院，杭州 310018)

0　引　言

近年来，由于多智能体系统在编队控制[1]、传感器网络[2]等方面得到广泛应用，其协同控制问题已经引起越来越多的关注。一致性是多智能体系统协同控制的前提和基础。许多学者已经研究了在固定拓扑、切换拓扑等约束条件下，以单积分、双积分或高阶动力学方程为模型的多智能体系统的一致性问题[3-5]。

多智能体系统的一致性问题主要分为无领导者一致性问题[6-7]、只有一个领导者的领导-跟随一致性问题[8-9]和有多个领导者的包容控制问题。包容控制，就是要求所有跟随者的状态收敛到领导者所形成的凸包内。Li等[10]研究了连续和离散多智能体系统，基于相对输出信息，提出了分布式观测器类型的包容控制协议，从而使得跟随者最终收敛到领导者所形成的凸包中。Wang等[11]针对一般线性多智能体系统的包容控制问题，在系统状态信息不可得的情况下，设计了基于输出反馈的控制协议。Liu等[12]研究了有限网络资源下一阶和二阶多智能体系统的包容控制问题，提出了一种事件触发协议，在达到包容控制目标的同时，通过减少通信次数以节约网络资源。Hu等[13]针对非线性多智能体系统，对有向拓扑网络下的系统包容控制问题进行了分析。Zheng等[14]研究了一阶和二阶异构多智能体系统，分别提出了线性控制协议和非线性控制协议，得到了包容控制的必要充分条件。

在以上研究[10-14]中，控制器的参数设计需要知道全局信息，例如通信拓扑的Laplacian矩阵的最小非零特征值。因此，这些控制器不能以完全分布式的方式实现。为了克服这种局限性，分布式自适应控制方法被应用于解决多智能体系统的一致性问题。Xie等[15]研究了单积分多智能体系统的一致性问题，分别设计了基于边的和基于节点的两种自适应一致性协议，系统利用局部信息即可达到一致性。Li等[16]将这两种协议用于解决一般线性多智能体系统在固定拓扑结构下的一致性问题，随后又提出了切换拓扑网络下的自适应一致性协议。Li等[17]针对线性和Lischitz非线性两种情况，分别提出了分布式自适应协议和Lischitz分布式自适应协议。然而，这些文献[15-17]都是针对无领导者或一个领导者的情况。

本文研究了多个领导者情况下多智能体系统的包容控制问题。在有向固定网络下，基于邻居智能体的相对状态，采用分布式自适应方法给出了系统的包容控制协议；利用矩阵理论和Lyapunov方法分析系统在该协议下达到包容控制的充分条件。该协议给每个智能体分配了一个时变耦合权重使得参数设计不依赖于任何的全局信息，在反馈控制下控制器以完全分布式的方式使跟随者的状态渐近收敛到领导者所形成的凸包内。

1　预备知识及问题描述

1.1　图论

多智能体之间的交互拓扑结构通常用一个有向图G=(V,E)表示，其中V={1,…,N}表示节点集合，E⊆V×V表示边集合[18]。一条从节点i到节点j的有向边表示为(i,j)∈E，节点i称为父节点，节点j称为子节点。当(i,j)∈E时，则节点i是节点j的邻节点，用Ni={j∈V|(j,i)∈E}表示节点i的邻居集。邻接矩阵A=[aij]∈RN×N定义为：aii=0,aij=1⟺(j,i)∈ε，否则aij=0。图G的Laplacian矩阵L=[lij]∈RN×N定义为：lii=∑j≠iaij，且lij=-aij,i≠j。容易验证0是L的一个特征值，其对应的特征向量是1N=(1,…,1)T。有向图中的一条路径是指从节点i到节点k有序边序列(i,i+1),(i+1,i+2),…,(k-1,k)∈E。若有向图G中存在一个根节点(没有父节点)可以到达其他所有节点，则称图G含有一棵有向生成树。

1.2　问题描述

考虑如下的线性多智能体系统：

(1)

其中：xi∈Rn和ui∈Rp分别为智能体i的状态和控制输入。A和B为维数适当的常数矩阵。

对于每个领导者，假设其控制输入ui=0，则领导者的动力学方程为：

(2)

由于领导者没有邻居，图G的Laplacian矩阵可以分解为：

(3)

其中：L1∈RM×M，L2∈RM×(N-M)。

假设1至少有一个领导者智能体是全局可达的。

定义2[21]对于任意的初始条件xi(0),i∈F，如果存在控制协议ui使得所有跟随者的状态渐近收敛到由领导者状态构成的凸包内，则称系统(1)解决了包容控制问题。

2　主要结果

定义相对状态信息

本文设计的分布式控制协议为：

(4)

其中：ci(t)为智能体i的时变耦合权重，且ci(0)>1，Γ∈Rn×n和K∈Rp×n为需要设计的反馈增益，ρi(s)是满足ρi(s)≥1,s>0条件的单调递增函数。P>0是下列线性矩阵不等式(LMI)的解：

AP+PAT-2BBT<0

(5)

下面给出控制协议(4)解决系统包容控制问题的充分条件。

其中：

证明将式(2)代入到入式(1)中，可得

(6)

(7)

由z的定义可知

z=(L1⊗I2n)xf+(L2⊗I2n)xl

(8)

对式(8)求导得

=(In⊗A+L1cρ⊗BK)z

(9)

且

(10)

构造如下的Lyapunov函数：

(11)

对式(11)进行求导，得到

(12)

zT[cρΞ⊗(P-1A+ATP-1)-

(13)

(14)

将式(13)—(14)代入式(12)，有

(15)

因为ρi(s)≥1且ci(s)≥1,∀s>0，则有

(16)

选取

(17)

即

(18)

于是有

(19)

将式(16)—(19)代入式(15)中，可得

(20)

其中：

证毕。

3　仿真实验

本节用一个仿真示例来验证理论结果的有效性。在这个例子中，假设多智能体系统包含3个领导者和4个跟随者，其系统矩阵为：

通信拓扑如图1所示。其中节点5,6,7表示领导者，其他节点均表示跟随者。

图1　通信拓扑

显然，假设1满足。相应地，式(3)中，

利用Matlab的LMI工具箱解LMI(5)得到反馈增益矩阵

图2　耦合权重轨迹

图3　函数ρi(t)轨迹

智能体的状态轨迹如图4和图5所示。显然，所有跟随者智能体的状态均渐近收敛到领导者智能体状态构成的凸包内。

图4　所有智能体的状态xi1轨迹

图5　所有智能体的状态xi2轨迹

相对状态信息z的轨迹如图6和图7所示。从图中可以看出，z渐近趋于0，说明在控制器(4)的作用下，系统(1)可解包容控制问题。

图6　包含误差zi1轨迹

图7　包含误差zi2轨迹

4　结　论

本文研究了一般线性多智能体系统在有向拓扑结构下的包容控制问题，给出了一种基于分布式自适应方法的包容控制协议。假设每个跟随者智能体只与其邻居智能体进行信息通讯，并且至少存在一个领导者智能体是全局可达的，通过Lyapunov方法分析并证明了在该控制协议下所有跟随者智能体的状态都能收敛到由领导者状态所形成的凸包内。后期准备研究事件触发机制下多智能体系统的包容控制问题。