空空导弹单一退化型部件可靠性建模∗

杨立安 孔凡成 张百成

（1.空军勤务学院航空弹药保障系 徐州 221000）（2.空军驻624厂军代室 哈尔滨 150000）

1 引言

空空导弹被誉为“空战之剑”，是由歼击机、强击机、直升机、轰炸机等携带发射，攻击空中目标的导弹，对夺取制空权、保持空中优势至关重要［1］。空空导弹在长时间的贮存中通常会出现质量问题或技术性能下降现象，进而导致故障的发生，因此，需要对空空导弹贮存可靠性进行合理的分析，建立适当的数学模型，得出详细的研究结果。导弹的故障通常是由其内在失效机理与外部环境因素综合作用导致的，这是一个复杂的过程，但是从故障的发展进程来看，导弹的故障可分为突发故障与退化故障两种。退化故障［2］表现为导弹的性能状态随存储时间的延长而逐渐下降，监测参数的测试数据逐渐偏离标准值并最终超出规定阈值。由于测试数据表征了导弹的性能状态，且具有一定的规律性，因此，可以依据性能退化的基本理论，应用监测参数的测试数据对导弹退化故障进行预测分析。

2 逆高斯过程和维纳过程

1968年Wasan首次发表逆高斯过程［3］，但由于当时无法在实践工程中得到检验，因此逆高斯过程并没有被重视。直到2010年，逆高斯过程才再次进入到学者视线，在实践中得到认证。2012年，学者Ye和Chen给出了逆高斯过程物理背景的正式解释，提出逆高斯过程是解决产品单调退化过程问题最合适的模型。

在逆高斯过程中，性能退化量{X (t);t＞0} 具有下列性质［4］：

1）X(0)=0依概率1恒成立；

2）对 于 任 意 t＞s＞u ，X(t)-X(s)≥0，X(s)-X(u)≥0，X(t)-X(s)和X(s)-X(u)相互独立；

3） 对 于 任 意 t＞s≥0 ， X(t)-X(s)～

式中：λ是逆高斯过程的刻度参数；Λ(t)是单调增逆高斯过程的分布函数。

维纳过程［5］是一个重要的独立增量过程，在纯数学中，维纳过程导致了对连续鞅理论［6］的研究，是刻画一系列重要的复杂过程的基本工具。在维纳过程中，性能退化量{X (t);t＞0}具有下列性质：

1）X(0)=0依概率1恒成立；

2）对 于 任 意 t＞s＞u ，X(t)-X(s)≥0，X(s)-X(u)≥0，X(t)-X(s)和X(s)-X(u)相互独立，服从正态分布；

3）对于任意时刻t＞0，X(t)～N(μ t，σ2t) 。

3 空空导弹部件单调退化建模

根据文献［7］可知，基于性能退化理论的可靠性建模适用于对导弹贮存可靠性进行分析，根据逆高斯过程中性能退化量的性质，若令3）中s=0，则根据性质3）可以解得产品性能退化量在任何时刻都服从逆高斯过程。

逆高斯过程的概率密度函数为

其对应的分布函数为

其中：当 x＞0时，I(0，∞)(x)=1，x≤0时，I(0，∞)(x)=0，称为示性函数。Φ(·)为标准正态分布函数。

由公式计算可以得出逆高斯过程的期望和方差

由期望和方差可以求得逆高斯过程的变异系数为

因为Λ(t)是单调增函数，所以逆高斯过程的变异系数随着时间t的增加呈现出递减的趋势并逐步向逆高斯过程的均值曲线逼近。

为了体现一般情况，本文假设服从逆高斯过程的导弹性能退化量为单调非减的，设Λ(t)=μt，设置产品失效阀值D。根据贮存可靠性基本理论［8］，产品的贮存可靠寿命T是指产品贮存过程中首次发生失效的时间，即性能退化理论中产品性能退化量第一次超过设置的失效阈值。因为逆高斯过程为单调过程，其可靠寿命T可表示为

所以，其失效概率函数可表示为

其中，FIG(·)为逆高斯过程分布函数；ε为t的函数。

其可靠度函数为

对式（6）求导可求得累积失效概率密度函数：

其中，ϕ(·)为标准正态分布的密度函数。

当产品符合性能退化的逆高斯过程，且其性能退化量在时刻τ仍未超过失效阀值xτ＜D，那么剩余寿命Tτ可表示为

根据逆高斯过程性能退化量的独立性和马尔科夫链［9］的前效无关性，剩余寿命Tτ可改写为

我们无法得到部件准确的退化参量，因此对于部件贮存过程中性能退化估计只能依靠不同时刻对导弹测试获得的参数值进行统计得到其最大似然估计。为了体现一般性，取第i个部件在ti0，ti1，…，tim时刻的性能退化量进行估计：

相邻测试区间内，部件性能退化增量为

其 中 ， ∆Xij=Xij-Xi，j-1，i=1，2，…，n; j=1，2，…，m

其中，。为了便于计算，做如下替换：

代入原似然函数得

将式（11）取对数，分别对 μ，v求偏导，令，得到极大似然值为

代入得μ，λ的最大似然估计：

将 um，λm代入获得可靠度函数的最大似然估计：

4 空空导弹部件非单调退化建模

在工程领域，维纳过程是处理非单调性能退化［10］过程应用最成熟的模型。为了体现一般性，本文假设产品在贮存过程中随着时间的推移发生非单调性能退化，性能退化量X(t) 服从维纳退化过程［11］，其表达式为

其中，μ(t ; θ )是维纳过程漂移函数［12］；θ 为未知参数；σ为扩散系数 ；B(t) 为标准布朗运动［13］。

根据维纳过程的性质可知，其期望和方差为

因此其变异系数为

当产品失效阈值D＞0时，产品T(D)时刻的失效概率密度函数为

对上式积分得产品T(D )时刻的失效率函数：

则产品T()

D 时刻的可靠度函数为

维纳过程可靠度函数的最大似然估计可参考逆高斯过程求得：

5 结语

空空导弹贮存可靠性是衡量空空导弹武器系统性能的核心指标之一，为了明确空空导弹单一退化型部件对贮存可靠性的影响，本文结合性能退化的基本理论，利用逆高斯过程及维纳过程，分别对空空导弹部件进行了单调退化建模和非单调退化建模，下一步可以继续研究其他部件及环境因素对贮存可靠性的影响，并对已建立的模型进行仿真分析，找到提高空空导弹贮存可靠性的方法和措施。

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