浅析初中数学最短路径问题

徐根宝

在我校八年级最近组织的一次考试中数学试卷上有这样一道题：

问题：如图1，在长方形ABCD中，AB=4，BC=8，点E为CD边上的中点，点P、Q为BC上两个动点且PQ=2，当BP=________时，四边形APQE的周长最短。

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本题对学生来说，有一定难度，得分率较低，分析学生失分的主要原因在于学生未能完全领会一个很重要的数学模型——饮马问题，即求最短路径问题。

新课标理念下的数学命题出现了改革创新的趋势，许多几何问题源自于书本知识的延伸和拓展，解决此类问题，要求学生熟练掌握书本上的知识，在此基础上获得解题途径。

为此，我对本题进行了一番分析、探究和归纳，以期在以后的教学中指导学生突破难点，顺利解决问题。

1.知识储备

（1）轴对称；（2）两点之间线段最短；（3）垂线段最短。

2.分析问题

找原型：如图2，直线l外有不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短。

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解题过程：作出B点关于l的对称点B′，利用轴对称性质可得CB′=CB，这样问题转化为C点在何处时AC与CB′的和最小，由两点之间线段最短可知C点在AB所连的线段与l的交点处时，AC+CB′有最小值。

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上述解法告诉我们，要在A、B以外的直线l上找一点C，使得AC+BC最短，只需利用轴对称变换，将A、B中的一点A（或B）对称变换为A′（或B′），连接A′B交l于一点，则该点即为所求作的点。

3.解决问题

在AD上截取线段AF=PQ=2，作点F关于BC的对称点G，连接EG与BC交于Q点，过点Q作FQ的平行线交BC于点P，过点G作BC的平行线交DC的延长线于H，如图4。

∵ GF=DF=6

EH=2+4=6=GH

∠B=90°

∴ △GEH是等腰直角三角形

∴ ∠GEH=45°

设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x

在△CQE中，∵ ∠QCE=90°，∠CEQ=45°

∴ CQ=CE即6-x=2，得x=4

∴ 當BP=4时，四边形APQE的周长最短。

4.拓展与延伸

如图5，在直角坐标系中有四个点A（-6，3），B（-2，5），C（0，m），D（n，0）。要使四边形ABCD的周长最短：

（1）在图中作出符合要求的C、D两点。

（2）求出m、n的值。

分析：要使四边形ABCD的周长最短，由于AB长为定值，故只要求BC+CD+AD的和最小时，四边形ABCD的周长最短，与前文所述问题一致，我们只要设法将BC、CD、AD三条线段转化到同一直线上即可。

解：分别作A点关于x轴的对称点A′，B点关于y轴的对称点B′，连接A′B′交x轴、y轴于D、C两点，则AD=A′D，BC=B′C

∴ BC+CD+AD=B′C+CD+A′D=A′B′

∴ 四边形ABCD的周长为AB+A′B′为最短，通过计算可得四边形ABCD的周长为：

l=AB+A′B′=2■+8■

5.直通中考

关于最短路径问题，这些年各地中考试卷中多有涉及，有的题较简单，通过简单的画图、判断可得出正确结论，有的难度较大，特别是在综合性较高的压轴题中，要充分利用已知条件作图，并利用轴对称知识结合方程组才能解决问题。

（作者单位：安徽省芜湖市南陵县春谷中学）