探究微积分在高中数学解题中的应用

李培

微积分在数学学科当中有着极其重要的地位，在当下的数学教学中发挥着基础性作用，使函数和变量之间的关系被重新定义。微积分在高中数学中属于关键性的内容，其可以帮助我们强化对数学的思考方式，不仅在很大程度上解开了数学中的诸多难题，同时为大学高等数学的学习打下了坚实的基础。本文在此针对微积分在高中数学解题中的应用进行了研究。

近年来，在我国教育不断地进行深化改革的过程中，教育机构也渐渐开始关注高中和大学间教育对接的问题。高中数学和大学高等数学中的很多内容都存在着必然的联系，可以说大学高等数学是高中数学的延续内容。在当前的高中数学当中，反三角函数、微积分以及数列极限等相关教学内容慢慢地渗入进来，尽管使高中数学的困难程度有所增加，但在有效提升数学基础方面也起到了很大的作用。

微积分在高中数学解题中的应用

导数应用于几何中

导数的相关内容应用于几何解题之中，能够使几何题目的求解过程简单化，加快解题的速度。比如在切线方程当中，倘若提供了曲线外的一点，而求解该点的切线方程，可利用导数的相关知识内容对此加以快速计算。

因在高考的内容当中关于微积分的题目越来越多，教师在授课的过程当中对特殊曲线的切线求值也显得越发关注，例如数学当中的三角曲线、对数曲线和指数函数等。而对于此类较为复杂的曲线实施切线的计算，倘若还是用之前的计算方法，那么其工作量之大可想而知，并且很可能得到错误的结果，所以一定要使用微积分的相关知识内容对切线加以计算，在应用微积分的过程中，只要把切线的斜率计算出来，就会使相关问题得以解决。

微分中值定理应用于方程根的判断中

一般情况下，在高中数学的教学内容中对方程根的判断基本上就是使用判别式来对其加以分析，而在高等数学当中，判别式的求解过程要更加烦琐一些，所以极易使计算出的结果失去准确性。而在使用微分中值定理的情況下，就可以使求解的过程在一定程度上得到简化，从而使最终的结果也更加具有准确性。

现阶段，高考主要考查的内容已经涉及学生对知识的灵活运用和综合使用的层面上，而在数学相关知识的考查过程中，普遍存在的题型之一便是使用微积分对不等式及函数值加以求解。而在三角函数、指数函数和对数函数的不等式计算中应用微积分，可以得到更具准确性的答案，并且大大降低了错误结果出现的概率。如下所示：

使用导数描绘函数图像和判断函数的单调性和区间

使用一阶导数不仅可求出函数图像的上升区间与下降区间，还可以确定极值点的具体位置；利用二阶导数不仅可求出函数图像的凹凸区间与拐点，还能够以此参数作为依据了解函数存在的单调性，以此描绘出准确的函数图像。

在高中的授课过程中，对三角函数等相关函数所存在的单调性进行证明时，基本上都是非常重要的内容，单调性一般是指在规定的范围[m，n]当中，看自变量在变化的时候，因变量能够如何改变。但是，在未使用微积分的知识内容对单调性加以证明的时候，一般都应以单调性的具体定义作为依据才可以实施单调性方面的判断，因变量发生的改变是伴随着自变量的改变而改变的，不断增大的函数就叫作增函数，而不断减小的函数则叫作减函数。然而，单调性的具体定义只是对一些较为简单的函数加以证明，对较为复杂的函数就要使用微积分进行证明。倘若相对应的函数在求解后，促使在对应的区间之内得出的数值大于零，那么就证明该函数在区间范围内属于单调递增，而倘若计算出的导数值未能大于0，那么就证明该函数在区间范围内是单调递减的。

高中数学微积分内容的学习意义

对数学中的相关问题能够尽快了解

掌握微积分的知识内容不仅对解决数学中的问题具有很大的帮助作用，而且对平时生活当中出现的某些问题也可以加以准确计算，比如可以通过使用微积分的知识内容对速度、加速度、边际成本、利润、比表面积以及极值等数值进行求解，使我们在解决相关问题的时候充分体现出微积分的使用意义，以此提升学习数学相关内容的动力。

对于提高思维方面的能力具有很大作用

掌握微积分的知识内容对于提高我们在思维方面的能力起到了很大的作用，可以使我们有效利用辩证思维的方法解决数学当中的相关问题，以此代替机械思考的方式。

在学习微积分相关知识内容的时候可以进一步提升对变量与常量方面的认知程度，以此强化数学解题的思维能力，更好地找出在生活当中存在的数学问题，强化高中数学授课当中的思维能力极其重要，能够在很大程度上提高学生在数学知识方面的运用能力。

对于更好地学习大学高等数学具有基础性意义

有很多的高中毕业生在进入大学校园的时候，在学习高等数学方面的能力较低。其根本上就是因为高中时期的数学内容要比大学的数学内容更容易消化理解，而高等数学的相关内容具有很高的抽象性，假如在高中阶段未接触这方面的知识点，那么就会使学生无法有效掌握高等数学的相关内容。另外，有很多学生还觉得微积分在本专业中没有存在的意义，由此使其无法具有较高的学习主动性。因此，在高中教学的内容中加入微积分，对学生在大学阶段的学习具有极高的帮助作用。

加强微积分在高中数学解题中应用能力的相应办法

通过平时的生活提高学生对微积分知识内容的认知能力

在学习微积分知识内容的时候，学生往往对变化率的理解不够充分，其根本原因就是学生对于微积分的基本含义未能有效理解。在授课的过程当中，授课教师可利用高台跳水和气球膨胀等平时生活当中存在的事情作为参考内容，为学生剖析变化率的基本含义，以此提高学生对变化率的理解程度，同时使学生能够积极思考，使学生对相关知识理解得更加透彻，之后提出相关的题目让其加以思考，利用布置相关习题的方式使微积分知识得到有效运用，借助实际的案例总结相关的公式，一步步地使学生主动学习微积分的知识。

让学生充分地了解和掌握微积分知识内容的意义

在学习微积分知识的过程当中，学生学习的态度和学习的效率有着必然的联系。所以，教师的首要任务就是让学生充分了解和掌握微积分知识内容所具有的重要意义，熟知微积分对解答数学问题方面所起到的显著作用，意识到微积分和相关问题的必然性联系，以此提升其在微积分的学习方面应有的积极主动性。

除此之外，应使数学授课的过程具有一定的生动性与活跃性，使学生对抽象的知识内容能够加以积极的思考，避免使用硬性记忆的教育方式。在微积分的授课过程中，不但要做好理论知识的讲解，更应该在讲解的时候有效利用相关的材料以及多媒体式的图像文字，使学生更加全面地理解知识内容，并加以思索，体会到掌握微积分知识内容的重要意义，让学生能够更好地做到学以致用，充分体现出微积分的实用价值。

控制好微积分授课内容的具体范围和难易程度

高中数学当中的微积分知识点属于全部微积分知识内容中的基础部分，为学生学习大学的高等数学提供了学习基础。所以，对高中阶段的微积分内容一定要加以重视。高中的数学内容涵盖了基本的数学知识，而让学生直接领会微积分的具体含义是存在一定难度的，所以，授课教师必须要控制好微积分授课内容的具体范围和难易程度。

微积分的具体含义较为抽象化，所以在授课的过程当中应利用情景布设的方式，让学生更加容易地掌握微积分，把微积分和实际的问题有效地结合在一起。利用相关的物理场景开展微积分具体含义的讲解工作，借助微积分知识内容对物理数据加以处理，实现充分结合。在微积分的授课过程当中必须要控制好内容的具体范围与难易程度，绝对不可因无限制的讲解而使内容过于深奥，导致学生无法理解，一定要以学生实际的理解能力作为基础来开展微积分知识点的讲解。

有效运用多媒体教学方式

多媒体的出现使教学的内容更加方便易懂。微积分本身所具有的含义非常抽象，只是凭借教师单一的讲解方式是无法让学生充分理解的，为使此问题得以有效解决，可通过使用多媒体设备播放视频图片的方法实施授课，可以让授课的过程具有较高的生动性与具体性，还可以提升授课教师与学生间的互动能力，使学生更加积极主动地进行学习。教师在教学的活动中占据着关键性地位，想要学生对相关课程的学习更加具有主动性和积极性，就一定要有效拉近师生之间的距离，教师应逐步提高自身的专业知识水平，不断调整教学的相关方法，提升自身的教学思维，以使教学活动的开展更加顺利。

结语

总而言之，在高中数学的解题当中应用微积分，不仅能够使处于高中阶段的学生具有较高的思维能力与探索能力，還可以使学生在迈进大学校园之前让其在数学学习方面具备一定的基础，使学生对数学学习更加透彻。本文在此对微积分在高中数学解题中的应用展开了研究，讨论了高中数学当中引入微积分知识内容的重要意义，并总结出改善微积分在高中数学解题方面使用效率的相关办法，希望对学生学习微积分知识起到帮助作用。