高等数学中关于中值定理的题型证明

郑欣

高等数学中微分学中的几个中值定理，包括罗尔中值定理，拉格朗日中值定理等，是导数应用的理论基础。

本文主要讨论证明结论中含有这一类型题的证明，此种类型题证明方法有：

（1）验证为的最值或极值点，然后用费马定理即可；

（2）验证在上满足罗尔中值定理，利用一次中值定理证明即可；

（3）利用泰勒公式或多次利用罗尔中值定理即可。

例 设在上有三阶导数，且，又设，

试证：在内至少存在一点，使

证明一：由于得

所以

对在上用罗尔定理（由于）存在，使.

由于，对在上用罗尔定理存在，使得，由于，对在上用罗尔定理，存在.使得.

此种证明方法就是利用了多次罗尔中值定理。

证明二：由于在上有三阶导数，且，对在处进行二阶泰勒展开.

也就是 （在0与之间）

由于 将代入上式得

，

此种证明方法就是利用了多次罗尔中值定理泰勒公式。

例：设在上连续，在上可导，且，又，

试证：在内至少存在一点，使。

证明：由题可知在上满足罗尔定理，所以存在，使.

又由积分中值定理得其中，

于是在上满足罗尔中值定理，所以存在使得：

，其中

由以上证明可得

再对在上使用罗尔定理，于是有，其中。

參考文献

[1]同济大学应用数学系，高等数学[M]， 北京：高等教育出版社，2016

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M]， 北京：高等教育出版社，2012