基于改进非等间距灰色模型和PSVM的轨道质量指数预测

马子骥，郭帅锋，李元良

(湖南大学 电气与信息工程学院，湖南 长沙 410082)

轨道不平顺的形成受到多种因素的影响，包括轨道因素、载荷因素和自然因素等，这决定了轨道不平顺是随里程变化的随机干扰函数[1]。国内外学者对轨道质量预测方法进行的研究工作基本分为两类，一是将外界变量参数化构建出合适的模型。文献[2]提出一种基于信号处理、统计和轨检数据的综合因子法，对轨道不平顺发展趋势进行了预测。文献[3]从轨道构造条件、列车载荷对轨道及路基下沉量作用出发，通过轨道力学理论得到未来的轨道下沉量。二是构造合适的组合预测模型。文献[4]利用线性预测模型预测轨道质量指数(TQI)的发展情况。文献[5]利用实测轨道不平顺历史数据，通过回归分析，得到轨道不平顺的非线性预测公式。文献[6]利用轨检车动态检测数据，提出一种基于不平顺分布函数的不平顺发展统计预测方法。文献[7]利用轨道不平顺TITCGM(1，1)-PC灰色非线性预测模型对TQI序列进行预测。为了充分反映轨道不平顺的动态随机性，文献[8]提出基于非等时距灰色加权和BP神经网络的轨道不平顺预测方法，具有较高的预测精度。但是TQI序列属于典型的小样本贫信息不确定性系统，BP神经网络受样本容量影响较大，当样本较少时对历史数据的拟合较好，但是预测缺乏稳定性。

基于以上分析，本文充分利用支持向量机(SVM)[9]处理小样本非线性高维数据的能力，提出一种基于非等间距GM(1，1)和粒子群优化[10]支持向量机(PSVM)的轨道不平顺组合预测方法。将非等距序列变换为等间距累加均值序列，通过改进的灰色模型得到TQI的初步预测值，利用PSVM对灰色预测值进行修正，得到较精确的TQI序列。

1 改进的非等间距灰色模型

1.1 非等间距序列的变换

设非等间距TQI序列为

X(0)={x(0)(t1)，x(0)(t2)，…，x(0)(tn)}

将n个历史数据X(0)转换为等间距序列的步骤如下[11]：其对应的各观测周期距首个周期的时间间隔为ti=Ti-T1，其中Ti为各期的原始观测时间，且满足

Δti=ti-ti-1≠consti=2，3，…，n

( 1 )

平均时间间隔为

( 2 )

各实际观测时段与平均时间间隔的单位时段差系数为

( 3 )

各实际观测时段的差值为

Δx(0)(ti)=u(ti)[x(0)(ti)-x(0)(ti-1)]

( 4 )

式中：x(0)(ti)为ti时刻的原始观测值，i=2，3，…，n。Δx(0)(ti)=0。

( 5 )

( 6 )

得到等间隔累加均值序列

( 7 )

1.2 GM(1，1)模型

由式( 7 )可知

X(1)={x(1)(t1)，x(1)(t2)，…，x(1)(tn)}

( 8 )

由一阶生成序列x(1)(ti)构建GM(1，1)模型的白化形式，其微分方程为

( 9 )

式中：a为发展系数，用来控制系统发展态势；u为灰色作用量，用来反映数据变化的不确切关系。

将式( 9 )在区间[ti-1，ti]上积分

(10)

可得离散化差分方程为

x(0)(ti)Δti+az(1)(ti)=uΔti

(11)

式中：z(1)(ti)为x(1)(ti)在区间[ti-1，ti]上的背景值。

利用最小二乘法求得待辨识参数a、u，即

[au]T=(BTB)-1BTG

(12)

其中

(13)

将a、u代入式(10)中可得时间响应函数

(14)

式中：i=2，3，…，n。

GM(1，1)模型预测值为

(15)

如果在级数比检验时进行平移，需将式(15)等号右边减去常数c，c为使原始数据序列的级数比都落在可容覆盖范围内的常数。

1.3 GM(1，1)模型优化

GM(1，1)模型的模拟预测精度取决于参数a、u，a、u的值又取决于z(1)(ti)的求解，因此背景值是影响灰色理论建模精度的重要因素之一。传统GM(1，1)模型把序列x(1)(ti)在区间上的连续函数视为直线，用梯形公式近似代替区间[ti-1，ti]上累加曲线x(1)(ti)与t轴围成的面积。文献[8，12]指出使用齐次指数拟合灰指数序列对其积分，并将积分值作为背景值，但是一阶累加生成序列并不一定都是齐次序列。因此本文利用一种复化梯形公式[13]解决更为一般的1-AGO序列，从积分几何意义出发，利用函数逼近思想，得到更精确的GM(1，1)背景值。由文献[13]可知，一阶累加序列可表示为一般的非齐次序列

x(1)(ti)=Aeαti-1+B

(16)

式中：

B=x(0)(t1)-A

式(11)中的z(1)(ti)可以表示为

(17)

式中：k表示将区间[ti-1，ti]均分为k段。

2 PSVM修正预测模型

2.1 支持向量机

支持向量机(SVM)是由Vapnik等根据统计学习理论中结构风险最小化(SRM)原则提出的，具有良好的泛化能力。SVM既有严格的理论基础，又能较好地处理小样本非线性高维数问题，能够避免陷入局部极小值。利用支持向量机可以将输入样本向量通过事先选择的非线性映射变换到高维特征空间，并在这个高维空间中得到自变量和因变量之间的非线性映射关系。

支持向量机函数拟合问题就是用函数f(x)=wx+b拟合数据(xi，yi)，i=1，2，…，n，xi∈Rn，yi∈Rn。数据样本为n组数据，即n维向量。支持向量机拟合函数为

(18)

使得

(19)

对于非线性问题，若在原样本空间中不能得到满意结果，可以通过非线性变换转化为某个高维空间中的线性问题，在变换空间求得最优分类面。这种变换可能比较复杂，SVM通过引入核函数成功解决了这一问题。高维计算的核函数主要有多项式核函数、径向基核函数(RBF)和Sigmoid核函数。

2.2 PSVM修正预测模型

由于单一灰色模型可能存在较大的偏差，所以本文利用SVM对GM(1，1)模型预测的轨道不平顺TQI值进行修正预测。研究表明，惩罚参数C与核函数参数g是影响SVM性能的关键参数，目前还没有合适的理论能够指导参数选择[14]。因此，使用粒子群优化算法对SVM的惩罚参数C、核函数参数g进行选择，可以有效避免参数选择不当对SVM的影响。PSO算法是一种经典的群智能算法，其粒子寻优基本过程为

vij(t+1)=wvij(t)+c1×r1×

[pij-xij(t)]+c2×r2[pgi-xij(t)]

(20)

xij(t+1)=xij(t)+vij(t+1)

(21)

式中：w为惯性因子；r1、r2为(0，1)区间服从均匀分布的随机数；c1、c2为学习因子，其个体极值为pbest，pi=(pi1，pi2，…，pid)，i=1，2，…，n；n为粒子数，d为粒子维度；全局最优解为gbest，表示所有粒子的全局极值所在位置，pg=(pg1，pg2，…，pgn)。

3 本文预测步骤

基于以上理论分析，本文设计的TQI预测方法为：对原始TQI数据进行级数比检验，判断是否需要平移变换；利用改进的非等间距灰色模型对TQI值进行初步预测，利用复化梯形公式对该模型进行背景值优化；将得到的初步预测值输入PSVM模型中进行修正预测，得到本文组合模型的最终预测值。灰色和PSVM模型结构如图1所示。

图1 灰色和PSVM模型结构

具体计算步骤如下：

步骤1对原始数据序列进行级数比检验，如果不符合要求，则将数据进行平移处理。

计算其级数比为

(22)

X(0)=X(0)+c

(23)

步骤2将处理过的非等间距TQI序列X(0)进行变换处理，得到等间隔的一阶累加均值序列X(1)，如式( 7 )所示。

步骤3在每个时间间隔[ti-1，ti]内插入3个点将其均分为4份，利用复化梯形公式对GM(1，1)模型的背景值z(1)(ti)进行优化。

步骤4利用最小二乘法估计灰色模型的参数a、u，得到最终灰色模型预测的时间响应函数。

步骤5利用步骤4得到基于灰色模型预测的原始TQI数据为

(24)

步骤6将灰色模型预测得到的原始TQI数据Pg作为PSVM修正模型的输入，TQI真实值X(0)作为其输出，对模型进行训练，得到最优化C、g的PSVM模型。具体方法为：通过对学习因子c1、c2和权重系数进行初始化，初始化粒子的位置和速度，每个粒子设置为初始最好位置；计算每个粒子的适应度，粒子的适应度采用K折交叉检验进行评估，根据式(19)更新粒子的速度和位置；最后判断是否满足终止条件，若满足，则将群体中最优粒子映射为SVM惩罚参数C和核函数参数g最优解，否则，返回步骤2开始下一次搜索。

4 计算验证

以文献[7]中提速干线沪昆线上行K226.4～K226.6和K226.8～K227的TQI检测数据为例。将2007年9月—2008年8月一年内的19个数据作为稳定维修周期内积累的原始数据，对2008年9月—2008年12月的7个TQI数据进行预测。支持向量机采用林智任编写的libsvm包，用PSO算法优化SVM的径向基核函数，其表达式为

K(x，xi)=exp[-‖x-xi‖2/(2σ2)]

(25)

相对误差

(26)

平均误差

(27)

4.1 K226.4～K226.6区间段分析

读取沪昆线上行K226.4～K226.6的19个训练样本数据，PSO优化SVM模型参数过程中的均方误差适应度随迭代次数的变化曲线如图2所示。迭代结束时，搜索得到的SVM惩罚参数C=100，核函数参数g=1.187 6，CVmse=0.245 12。

图2 PSO优化SVM参数的适应度曲线

利用改进的非等间距灰色模型预测结果如图3所示，利用PSVM模型进行修正的结果如图4所示。由图3可看出，灰色模型的预测大致反映了TQI序列的变化方向，误差较大。由图4可看出，虽然经过PSVM模型进一步纠正之后训练结果对历史数据拟合效果一般，但SVM小样本学习和良好的外推能力使预测误差明显减小。本文预测模型与文献[7]的TITCGM(1，1)-PC模型和文献[8]的灰色与神经网络组合预测模型对比结果见表1。显然，文献[7]模型个别误差过大，最大为12.64%；文献[8]灰色与神经网络组合预测模型由于神经网络权值和阈值是运行时随机赋值的，具有不确定性且训练性能依赖大样本数据，训练结果虽然对历史数据拟合较好，但是预测性能欠佳。

图3 K226.4～K226.6区间TQI实测值与初步预测值图4 K226.4～K226.6区间TQI实测值与最终预测值

表1 K226.4～K226.6区间内3种算法的TQI预测结果比较

4.2 K226.8～K227区间段分析

为了避免连续区段TQI变化较接近，另取沪昆线上行K226.8～K227的19个训练样本数据，PSO优化SVM模型参数过程中的均方误差适应度随迭代次数的变化曲线如图5所示。当迭代结束时，搜索得到的SVM惩罚参数C=261.700 9，核函数参数g=1.406 9，CVmse=0.098 162。

图5 PSO训练SVM参数的适应度曲线

利用改进的非等间距灰色模型预测结果如图6所示，利用PSVM模型进行修正的结果如图7所示。由图6可以看出，灰色模型的预测误差较大。经过PSVM模型进一步纠正之后训练结果对历史数据的拟合效果一般，但预测误差较小，结果如图7所示。本文预测模型与文献[7]中的TITCGM(1，1)-PC模型和文献[8]的灰色与神经网络组合预测模型对比结果见表2。

图6 K226.8～K227区间TQI实测值与初步预测值

序号检测时间实测TQI值文献[7]方法TQI预测值相对误差/%文献[8]方法TQI预测值相对误差/%本文方法TQI预测值相对误差/%12008-09-056.7936.5493.596.4574.956.3596.3922008-09-156.5026.6412.146.4590.666.4251.1832008-10-066.6666.3944.086.4563.156.5701.4442008-10-156.6236.2805.186.4562.526.6330.1552008-11-116.9707.1342.356.4617.306.8232.1162008-12-116.6577.53713.226.5251.987.0285.5772008-12-247.2847.6444.947.0073.807.1122.36相对误差平均值/%5.073.482.74

图7 K226.8～K227区间TQI实测值与最终预测值

5 结论

(1)计算TQI累计序列微分方程的背景值时，从积分的几何意义出发，利用函数逼近思想，通过复化梯形公式构造背景值，提高预测精度。

(2)随着预测时间的延长，灰色模型在实际应用中预测精度会降低，在实践中应当对模型不断试验，总结出对多长时间内进行预测既可以减少运算量又满足精度要求。

(3)利用PSO算法的全局搜索能力，将SVM的惩罚参数C和核函数参数g作为粒子向量进行全局寻优，该方法克服了SVM对参数敏感的缺点，避免了根据经验确定模型参数导致的不确定性。

(4)PSVM模型中的不敏感损失函数应随着预测区段的不同进行微调，训练样本也应及时补充完善，提高预测精度。

(5)TQI序列属于典型的小样本贫信息不确定性序列。利用支持向量机对TQI灰色预测值进一步修正，可充分发挥其良好的预测性能和泛化能力，克服了单一灰色预测模型的不足，具有较高的使用价值。

正确预测轨道质量指数的变化对提高轨道平顺性意义重大，本文以沪昆线上行两段线路的预测分析为例，采用灰色模型和粒子群优化的支持向量机组合模型探讨解决这一问题的方法，并与实测值进行比较，取得了较理想的效果，预测相对误差低于现有的TITIGM-PC模型和灰色神经网络组合预测模型。

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