对数学概念教学的思考与应用

吴银串

一、基本情况

1.教材内容及地位

本节课是北师大版（必修一）第二章函数第三节，主要学习函数单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。

函数的单调性是在学习函数概念的基础上进行学习的，同时又为函数众多性质中的重要性质之一，是今后研究具体函数的单调性理论基础，在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用，所以它在教材中起着承前启后的重要作用。其中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于整个高中数学教学。

2.学情分析

（1）知识、思维基础：学生已在初中学过一次函数、反比例函数、二次函数等初等函数；高一学生具备一定的分析抽象的能力，对函数单调性已经有了初步的直观感知，能根据函数的图象得出定性描述。

（2）存在困难：从自然语言、图形语言到符号语言的转化，用函数形式定义的定量分析描述学生已有的定性分析。

3.教学目标

（1）理解函数单调性的概念，会判断和证明一些简单函数单调性的方法。

（2）培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力；体会数形结合、分类讨论的数学思想。

（3）突出学生的主观能动性，激发学生学习数学的兴趣。

4.教学重点、难点

重点： 函数单调性的概念，判断和证明简单函数单调性。

难点： 函数单调性概念中自然语言到符号语言的转化、常量到变量转化的认知。

二、教学过程

1.情境引入

（1）心电图可以看出随着时间心脏产生电活动量的变化情况，帮助医生诊断心律是否失常，人工心脏起博状况等。

（2）股票中的K线图，可以分析一段时间内股价变动情况，找出未来股价变动的趋势。

2.自主探究

问题1：对与两个函数图像从图形变化趋势、初中自然语言两方面进行描述？

问题2：以上两种描述为定性描述，如何将上面的描述转化为数学语言表达呢？

学生探究：y随x增大而增大中“随”说明什么？增大什么意思，怎么说明？

教师总结：y的变化依赖于x的变化；增大含有某基础上，比较与对比之意。

师生探究：（1）x某基础上增加，y也在某基础上相对应的增加；用字母代替，变量表示。

（2）y增加可用数之间大小来说明，进行作差。

任意∈（0，+∞）且，则<0，所以f

（）-f（）==（）（）<0。即f（）

（3）和学生讨论总结取值的任意性。单调性为定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。

3.一般化抽象出单调性概念

（1）区间上

在函数的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数，当时，都有，那么就称函数在区间A上是增加的，有时也称在区间A上是递增的.

问题3：① 能否类比得出减少的概念？②解决引入的问题，对，两个函数单调性进行描述？

（2）单调区间

如果 在区间A上是增加的或减少的，那么称A为单调区间。

问题4 ：完成课本36页思考交流，并找出单调区间？

教师说明：各区间用逗号隔开，或用“和”连接；“（”“[”说单调区间时没有严格要求。

（3） 增减函数 如果 在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数。比如。

4.应用举例

问题5：例1 说出函数的单调区间，并指明在该区间上单调性。

问题6：例2 画出的图像，判断它的单调性，并加以证明。

师生总结：用定义法证明函数单调性的五步，取值、作差、变形、定号、下结论。

5.回顾小结

问题7：大家试着进行知识小结？（学生回答基础上总结）

（1）知识：函数区间上单调性概念；单调区间；增减函数。判断和证明一些简单函数单调性的方法。（2）思想方法：数形结合思想；分类讨论思想。

三、教学反思

数学概念教学是数学教学的重中之重。有效的数学概念教学，绝不能以让学生学会概念为终极目标，而应让学生参与概念的形成、发展、巩固、应用和拓展的过程，把握概念的本质特征，体会隐含在概念中的思想方法，从而完善自身的认知结构，在知识、能力、素养方面获得全面的发展。

1.成功之处

笔者在教学设计中基于学生现有认知水平，着力落实概念教學的方法、思想，教学中注意体现基本概念的来龙去脉，力图做好以下几个方面的工作：

（1）设置问题，自主探究新课程的一个鲜明特点是以学生的发展为主，倡导学生通过参与、自主探索、研究，发现知识，获得知识，重在对学生潜能的开发及创新意识和实践能力的培养。

在本节教学设计中通过问题1-3让学生自己尝试解决问题，促使学生对数学思想方法的理解，提高学生对数学知识的产生、发展、演变的探究兴趣。

（2）自主构建，获取概念

数学概念的学习包括概念的获得、应用，建立概念体系三个阶段。

在本节教学设计中从学生的已有知识和经验出发，化解教学难点，和学生共同探讨形成概念，使概念教学回归本源，进而通过问题4、问题5、问题6进行概念理解与应用。

（3）通过知识小结，实现概念理解的螺旋式上升

一个概念的形成是螺旋式上升的，要经过具体到抽象、感性到理性的过程。在本节教学设计中问题 7让学生自主完成课堂小结，有利于学生对概念的进一步认识、理解。让笔者欣喜的是可能由于以往数学课堂活动经验积累，学生在总结时不仅对知识进行了小结，还从思想方法方面进行了总结。

2.不足之处

合理的课堂节奏才能使学生思维张弛有度，从而更有效的实现教学目标。实际授课过程中，出现了后半节课时间紧张的情况，这说明笔者对学生认知的提前预设还不到位，以后笔者在这个方面还应更加努力。