Mm,n(R)中具有Schm idt数的某个固定数R的纠缠基的讨论

乔世东

(山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009)

纠缠是量子力学现象中的突出特征之一，随着物理学的发展，一直与数学的发展密不可分，用数学理论解决物理问题已有几百年的历史，近二十多年来，以矩阵和算子理论作为重要数学工具的量子信息科学发展极快。首先从数学上给出纠缠的定义，但刻画纠缠性也是一个数学难题，在有限维情形，纠缠刻画问题可化为矩阵代数的问题。

设Mm,n(R )表示全体m×n实矩阵空间，m≤n，若满足如下条件，则称为

Mm,n(R)中的一组Schmidt数为k的纠缠基[1]。

(2) rank(Ai)≤k，i=1,2,…,m,n,其中 k为某个正整数，1≤k≤min{m ,n}；

(3) Ai的非零齐异值[2]为

且平方和等于1。

定义1矩阵A的奇异值为AA+或AA+的本征值的非负平方根。

定义2Tr(A)为A的全体特征值的和。

结果

（Ⅰ）当m=n=2,k=2时，

当

所以矩阵中的一组Schmidt数为 k的纠缠基的条件为（3），（4），（5），（6）成立。当i=j时，由条件（1）知，

由条件（5）知，

由条件（6）知，

由（7）知，a21=±a12， （9）例如：

当或

所以矩阵中的一组Schmidt数为 k的纠缠基的条件为（10），（11），（12），（13）成立。

由条件（12）知，

由（14）知，a13=±a22， （16）

同理当a12=a22=0时，

a11=±a13，a23=±a21。

当a13=a23=0时，a11=±a12，a22=±a21。

例如：

当的特征值为，

所以矩阵为M(R)中的一组Schmidtm,n数为k的纠缠基的条件为（7）～（13）成立。

[1]王晓红，费少明.量子纠缠与可分性[M].北京：清华大学出版社，2007.

[2]程云鹏，张凯院，徐仲，等，矩阵论[M].西安：西北工业大学出版社，2008：5.