圆锥曲线中的最值和范围问题综析

☉北京市第十二中学高中部 高慧明

圆锥曲线中的最值和范围问题是高中数学教与学的重点和难点，也是近几年高考的热点和学生得分的难点.原因有三：（1）圆锥曲线常与函数、平面几何、不等式、方程、三角、向量等知识横向交叉渗透，考查学生的综合知识体系；（2）圆锥曲线涉及的数学思想方法较多，例如，转化与化归思想、数形结合思想、分类与整合思想、函数与方程思想，换元法、判别式法、参数法、消元法、构造法等；（3）圆锥曲线计算量大，要求学生必须有较强的分析能力和运算求解能力.

由于圆锥曲线中的最值和范围问题与图形的几何特征、函数的最值及不等式等有密切的联系，因此解决的方法很多，比较常见的有：（1）结合曲线定义借助图中几何量间的大小关系；（2）不等式（组）求解法，根据题意结合图形，列出所讨论的参数适合的不等式（组），得出参数的取值范围；（3）函数值域求解法，把讨论的参数作为一个变量，选取一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，借助讨论函数的值域来求参数的范围；（4）利用代数基本不等式，基本不等式的应用，关键要创造条件，进行巧妙的构思；（5）利用三角函数的有界性，圆锥曲线参数方程的一个共同点是都含有三角式，其价值在于：①可通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标，②利用三角函数的有界性及其变形公式来求解最值、范围等问题；（6）构造二次方程，利用判别式Δ≥0求解.

本文主要探究利用构建不等式和函数的方法解决圆锥曲线中的最值和范围问题，同时涉及解析几何中常用的数学思想方法，以期对各位读者有所启迪.

一、构建目标不等式

欲求变量的取值范围，可设法构造含有变量的不等式（组），通过解不等式（组）来达到目的.

类型一——利用已知条件中明显的不等关系构建目标不等式

例1 已知圆x2+y2=1过椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：y=kx+m与圆y=1相切，与椭圆+=1相交于A，B两点.记λ=·2.求k的取值范围.

解析：易知椭圆的方程为x

2

2+y2=1.因为直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，即m2=k2+1.由4kmx+2m2-2=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km （x1+x2）+≤k2≤1，即k的取值范围

点评：通过直线与圆相切得到k，m的关系，再利用已知条件中的不等关系≤λ≤，结合向量的数量积及根与系数的关系构造关于k，m的不等式，再由k，m的关系，消元得到关于k的不等式，通过解不等式达到目的.

类型二——利用题目中隐藏的已知参数的范围构建不等式

利用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立两个参数之间的等量关系，将新的参数的范围问题转化为已知的参数范围问题.

2 已知A是椭圆E：+=1的左顶点，斜率为例k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.

点评：本题通过已知条件2|AM|=|AN|得到新的参数k与已知参数t之间的联系，并挖掘题目中隐藏的信息，得到t＞3，据此建立关于k的不等式.

类型三——利用点在曲线内（外）的充要条件构建目标不等式

利用点在曲线内（外）的充要条件构建目标不等式的核心是抓住目标参数和某点的关系，根据点与圆锥曲线的位置关系构建目标不等式.

例3 设抛物线过定点A（-1，0），且以直线x=1为准线.若直线l与抛物线顶点的轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x=-平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y=kx+m，试求m的取值范围.

图1

解法1：易知此抛物线顶点的轨迹C的方程为x2+=1（x≠1）.设弦MN的中点为yN），则由M，N为椭圆C上的点，可知两式相减，得4（xM-xN）（xM+xN）+（yM-yN）（yM+代入上式得k=-在弦MN的垂直平分线上，所以y=-k+m，所以m=y+k=y.由于000点P（-，y）在线段BB′上（B′，B为直线x=-与椭圆的0交点，如图1所示），所以yB′＜y0＜yB，即-＜y0＜

点评：本题求解的关键是根据点差法得到目标参数m与点P（-，y）的关系， 再根据点P（-，y）与椭圆的00位置关系得到y0的取值范围，从而求得目标参数m的取值范围.本题还可利用判别式构建目标不等式.

二、构建函数模型

若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，可以构建二次型函数、双曲线型函数、多项式函数等.

类型一——构建二次型函数

122C相交于A，B两点，△F1AB的周长为T（2，0），若λ∈［-3，-1］，求+|的取值范围.

解析：易知椭圆C的方程为=1.当直线l的斜率不存在，即λ=-1时，A

当直线l的斜率存在，即λ∈［-3，-1］时，设直线l的方程为y=k（x-1）.

由，可得（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），显然y1≠0，y2≠0，则由根与系数的关系可

点评：本题主要考查椭圆的定义、向量的坐标表示、几何问题代数化等.其中难点是代数化之后，目标函数比较复杂，如果直接计算相当麻烦，但是通过分析发现，目标函数都有相同的式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使函数转化成一个简单的二次函数，把未知的、复杂的题目转化为已知的、简单的题目，注意替换后变量取值范围的变化.

类型二——构建双曲线型函数

双曲线型函数主要有：y=a+（b≠0），y=ax+（ab≠0）.

例5 已知椭圆（a＞b＞0） 的左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线ax+2by-ab=0相切.如图2，过F1作直线l与椭圆分别交于P，Q两点，若△PQF2的周长为，求的最大值.

图2

解析：因为△PQF2的周长为4，所以4a=4，所以a=，易知b2=1，椭圆方程为+y2=1，且焦点F（1-1，0），F（21，0）.

②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），

点评：本题的求解思路是先利用向量的坐标运算及根与系数的关系得到的目标函数， 然后分离参数，构建y=a+（b≠0）型函数，再利用函数单调性即可求其取值范围.注意当目标函数是分式函数时，通常可以通过参数分离的方法，将目标函数转化成双曲线函数处理.

类型三——构建多项式型函数

例6 如图3，已知抛物线x2=y，线上的点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

（1）求直线AP斜率的取值范围；

（2）求|PA|·|PQ|的最大值.

图3

解析：（1）由题意可知，P（x，x2），-＜x＜，所以∈（-1，1），故直线AP斜率的取值范围是（-1，1）.

所以|PA·||PQ|的最大值为

点评：本题第（2）问利用向量坐标运算及根与系数的关系易得|PA|·|PQ|=（1+k）3（1-k），此时目标函数是次数较高的多项式函数，其最值不易求出，可构建多项式型函数f（x）=（1+x）3（1-x），-1＜x＜1，x≠0，通过求导的方式研究函数的单调性，进而求出最值.

综上，圆锥曲线中的最值与范围问题的主要求解策略是将问题等价转化成不等式求解问题或目标函数最值问题，在构建目标不等式时要注意挖掘题目中隐藏的不等关系，熟练转化几何关系，灵活运用基本不等式；在构建函数模型时，要抓住式子结构，对目标函数的类型进行预判，注意目标函数往往都不是简单的初等函数，而是几个基本初等函数的复合函数，求解过程中需要灵活运用换元法、消元法、导数法等.F