高考概率统计热点题型分析与对策

彭耿锋

摘要分析考纲，解读题型，通过近几年的高考概率统计题分析，在题型中寻找规律，明确高频考点，摸清考試规律，为高考题海战术指明了方向，备考增加信心，通过最近几年的高考试题分析，分析总结，明晰应考策略。

关键词概率统计

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

通过近五年全国卷概率统计解答题分析，我们不难发现，解答题多以抽样问题为背景，以频数分布条形图、频率分布直方图、茎叶图、散点图等统计图表为载体，体现能力立意，将统计知识与概率知识、函数知识等相结合的综合题。

下面举例说明2013年至2017年全国高考（理科）卷中出现的热点解答题进行分析与研究。

热点题型一：独立重复事件与二项分布

例题1.【2013全国1，理19】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立。

（1）求这批产品通过检验的概率。

（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。

【考点直击】：独立重复事件、二项分布、数学期望

【解答分析】：解决本题的关键在于取得产品的件数为4件优质品三件时，检验费用为800，对应的发生概率为只算前四次产品检验有三件优质的概率，也就是p(X=800)=C()3()=，后面4件检验费用必然发生，概率为1。

【试题点睛】：本题将检验费用与概率统计相结合，若忽视检验费用与抽检概率之间的关系，很容易产生错误，抽检事件在高考中为常考题，背景很熟悉，但命题手法多变，如何解决此类问题，理解是关键，模型的识别是核心。

热点题型二：离散型随机变量分布列及数学期望

例题2.【2016年全国I，理19】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元。在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数。

（I）求X的分布列； （II）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；

（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？

【考点直击】：频数分布条形图，离散型随机变量的分布列，独立事件发生的概率。

【解答分析】能够从频数分布直方图中读出每一台机器三年内更换的零件数分别为8、9、10、11，其次是两台机器三年内更换的零件数分别为16、17、18、19、20、21、22，独立事件同时发生的概率计算，互斥事件的概率计算；第二问n=19也就是购买19件配件，可以解决更换不大于19的所有事件发生的概率之和。

【试题点睛】：本题考查图表理解能力，也考查了分类讨论的思想以及具体问题具体分析的能力，与 2013年全国II理19题大同小异，对此题型，应多加重视。

热点题型三：二项分布与正态分布混合型

例题3.【2017全国1，理19】为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2)。

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,+3)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,+3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查。

（I）试说明上述监控生产过程方法的合理性：（II）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

经计算得

，

，

其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16。用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查，剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N(,2)，则

P(3＜Z＜+3)=0.9974

0.997416≈0.9592，≈0.09.

【考点直击】：二项分布；正态分布的3原则；均值、方差的计算。

【解答分析】一天内1个零件尺寸落在(3，+3)之外的概率是1-0.9974=0.0026,16个零件落在(3，+3)之外的概率服从二项分布，X~B(16,0.0026)，弄清楚这个问题，第一二问不难解决，第三问的计算较为复杂，耐心可解决，但是耗时较多，难以得分，考生应灵活处理。

【试题点睛】：本题要求考生具有良好的阅读理解能力、数据处理能力及模型识别能力，综合能力要求高。

热点题型四：线性回归方程与非线性拟合

例题4.【2015全国1，理19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。（图略）

表中w1 = ，

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

【考点直击】：非线性拟合，线性回归方程的求法，回归方程分析。

【解答分析】本题源于课本，考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解，解决此类题型首先要利用换元法，将非线性问题转化为线性问题，注意计算时，变量已经产生变化，考试时做到细心演算，公式正确，方能达到最后结果。

【试题点睛】：此题为近年来考试热点，频繁出现，此类题就是纸老虎，变量多，阅读量大，计算量大，平时要养成一算到底的好习惯，面对高考，我们唯有回归课本，以不变应万变，才是根本之道。

总之，近年来全国高考卷中概率统计类解答题就是知识与能力的完美结合体，需要我们平时在面对字数较多概率题型时应当多尝试，阅读理解的能力的提高非一日之功，计算能力的提高也非一日能就。

参考文献

[1]吴平生.面向2016年全国高考的概率统计复习备考研究[J].中学数学研究,2015(09).