观特征，善总结，解一题，会一类

◎蒋丽亚

一元一次不等式是初中阶段学习了一元一次方程和二元一次方程组之后，进一步探究现实世界数量关系的重要内容.应用不等式的基本性质解一元一次不等式是一项基本技能，也是同学们以后学习函数、一元二次方程以及进一步学习不等式的基础.它题型多变，综合性强，所以，同学们不但要熟练掌握一般解法，还必须根据不等式不同题型的结构特征，找出规律，灵活处理.下面提供了几种常见题型的解决方法，希望能给同学们一些帮助.

一、求一元一次不等式的特征解

不等式的解集一般是一个取值范围，但有时需要求未知数的某些特征解，如求正数解、整数解、非负整数解、最大整数解等，解答这类问题的关键是明确解的特征.

例 1 求不等式 3（1-x）≤2（x+9）的负整数解.

解：去括号得3-3x≤2x+18，

移项、合并同类项，得-5x≤15，

系数化为1，得x≥-3，

这个不等式的解集在数轴上表示如下：

由图可知，原不等式的负整数解为-1，-2，-3.

【评析】解答这类题，一般先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来，进而确定符合要求的特征解.

变式1 当x取哪些正整数时，代数式2-的值不小于的值？解：根据题意，列不等式2-2x≥1-2x-3，335解这个不等式，得x≤4，所以原不等式的正整数解为1，2，3，4.

【评析】解答本题应由条件构造关于x的不等式，再正确求得不等式的解集，最后根据要求确定特征解.

二、利用不等式的解集求字母的值或取值范围

在解一元一次不等式的有关问题时，我们常常会遇到有关字母的取值范围问题，由于这类问题综合性强、灵活性高，多数同学往往不能快速、准确地求解.下面介绍这类问题的解题规律与方法，供同学们参考.

例2 关于x的不等式2x-3a≥-3的解集是x≥-2，求a的值.

【分析】解答这类题，首先把不等式的解集用字母表示出来，然后根据题意建立方程，从而求出相应字母的值.

【分析】解答这类题，首先用字母表示方程的解，然后根据解的特征建立关于字母的不等式，从而求出字母的取值范围.

解：将方程组中的两个方程相加得3x+3y=k+4，因为x+y＜4，所以3x+3y＜12，即k+4＜12，解得k＜8.又因为k为正偶数，故k=2或4或6.

【评析】本题可以先解方程组，求出x、y的值（用含有k的代数式表示），然后按要求x+y＜4去求解，也可以根据方程组的特点，灵活地构造关于待定系数的不等式，运用整体的思想求解.

变式2 如果关于x的不等式-k-x+6＞0的正整数解为1，2，3，则正整数k= .

解：由不等式-k-x+6＞0得x＜-k+6，因为x的正整数解为1，2，3，则3＜6-k≤4，而且k又是正整数，所以-k+6只能为4，从而k的值为2.

【评析】本题要正确理解不等式的解、解集、正整数解之间的关系.

三、解含字母系数的一元一次不等式

例5 解关于x的不等式mx+2x＜5m+1.

【分析】解含有字母系数的一元一次不等式，由于系数化为1时，在不等式两边乘（或除以）同一个非零实数，如果是个正数，不等号的方向不变，如果是个负数，不等号方向改变.而字母系数的值是不确定的，所以要对系数进行分类讨论.

解：合并同类项，得（m+2）x＜5m+1.

（2）当m+2=0时，0·x＜-9，不等式不成立，无解；

【分析】解答本题应先转化为关于x的含有字母系数a的不等式，再分情况讨论.

例6 关于x的不等式（2a-b）x+a-5b＞0的解集为x＞，求关于x的不等式ax＞b的解集.

【评析】这题虽然也是含有字母的一元一次不等式，但和例5又有区别：在解不等式时，移项得（2a-b）x＞5b-a，因为条件中解集为x＞，不等号方向没有改变，明确了系数2a-b一定大于0，所以不需要再对系数分类讨论.

在初中数学的学习过程中，一元一次不等式处于相当重要的地位，同学们要正确运用不等式的基本性质解决这类问题.在解题的过程中也经常会用到一些常见的数学思想方法，如数形结合、分类讨论、类比转化等思想，希望同学们及时归纳各种题型的解题技巧和规律，善于总结，灵活运用，不断提升观察能力、分析能力、解题能力.