具有潜伏期及非线性免疫反应的HTLV-I模型稳定性分析

高亚男,胡新利,杨高艳

(西安工程大学 理学院,陕西 西安 710048)

0 引 言

人类T细胞白血病病毒I型(HTLV-I)是第一个被发现的与癌症相关的人类逆转录病毒,主要感染CD4+T细胞,被感染的健康细胞先进入潜伏期,表达Tax蛋白后转为感染细胞[1-3].HTLV-1主要与眼、骨骼肌或中枢神经系统的一系列亚急性或慢性炎性疾病相关[4-5].HTLV-I在宿主中主要以有丝分裂的方式传播[6-7].近年来有许多学者提出了一些有意义的HTLV-I模型,有考虑健康细胞和感染细胞两个仓室的模型[8-9],以及考虑了潜伏仓室的模型[10-13].随着研究的深入,人们发现CTL免疫反应对HTLV-I感染的影响很大,因此有一些学者研究了引入免疫反应的HTLV-I感染模型[12-16].而这些模型考虑的都是特殊的线性免疫反应,并且关于HTLV-I感染的模型一般都假设健康CD4+T细胞以常数输入,且病毒传播速度较快,宿主体内环境不变的情况下合理.综上,在前人研究的基础上建立一个考虑Logistic增长,具有潜伏期、非线性免疫反应的四维HTLV-I模型,分析模型的动力学性态.

1 模型建立

基于传染病仓室模型理论,建立HTLV-I仓室模型.x,u,y分别表示健康的、潜伏感染的、感染的CD4+T细胞的数量，z表示HTLV-I特定CD8+T细胞(免疫细胞)的数量，γ是自然增长固有比率,k是健康CD4+T细胞的承载能力,β是感染系数,τ是潜伏感染细胞每天表达Tax的比例,感染细胞经过有丝分裂增值sy,并假定全部转入潜伏期.p是CTL介导溶解比率(每个CD8+T细胞杀死被感染细胞的比率),v是细胞毒素反应性(特定CTL细胞遇到一个被感染细胞之后的平均增值比率).μ2,μ3,μ4分别表示潜伏感染细胞、感染细胞、特定CD8+T细胞的移出率.这样,可以得到模型(1)，即

(1)

对于模型(1)有下面的结论:

定理1 模型(1)的解(x(t),u(t),y(t),z(t)),对于所有的t>0是非负有界的.

证明从模型(1)的方程中可以得到:

根据[17]中的引理2,模型(1)的非负初始条件的解对于所有t>0是非负的.

由模型(1)的第一个方程得到:

2 模型的平衡点

首先模型(1)总是存在平衡点P0=(k,0,0,0).通过再生矩阵[18]定义基本再生数,有

下面求无免疫平衡点P1=(x1,u1,y1,0).

由模型(1)的第三式有

由模型(1)的第一式有

由模型(1)的第二式有

即R0>1时P1存在.

为了讨论正平衡点P2的存在性,引入一个CTL免疫反应阈值:

下面求平衡点P2=(x2,u2,y2,z2).

由模型(1)的第四式有

由模型(1)的第三式有

由模型(1)的第二式有

βx2y2-τu2-μ2u2+sy2=0⟹τβx2-τ(μ3+pz2)-μ2(μ3+pz2)+τs=0.

kγvp(τ+μ2)-γvp(τ+μ2)x2=kβ2μ4τ(x2-x1)+akβμ4p(τ+μ2).

定理2 如果R0≤1则存在平衡点P0;如果R0>1且R1≤1则存在平衡点P0,P1;如果R1>1则存在平衡点P0,P1,P2.

3 平衡点的全局稳定性

定理3 如果R0<1,则无病平衡点P0是全局渐近稳定的,如果R0>1则P0不稳定.

证明取李雅普诺夫函数V1=τu+(τ+μ2)y.

定理4 如果R0>1且R1<1,无免疫平衡点P1是全局渐近稳定的.

(2)

(3)

定理5 对于模型(1),如果R1>1则正平衡点P2是全局渐近稳定的.

(4)

(5)

(6)

4 结束语

参考文献(References)：

[1] 宋蓓,戴启宇,王辉.人类T淋巴细胞病毒及其相关疾病的研究进展[J].实用医药杂志,2009(8):73-75.

SONG B,DAI Q Y,WANG H.Research progress on human T-cell lymphntropic virus and the associated diseases[J].Practical Journal of Medicine & Pharmacy,2009(8):73-75.

[2] CARPENTIER A,BAREZ Y P,HAMAIDIA M，et al.Modes of human T cell leukemia virus type 1 transmission,replication and persistence[J].Viruses,2015,7(7):3603-3624.

[3] YOSHIDA M.Multiple viral strategies of HTLV-I for dysregulation of cell growth control[J].Annual Review of Immunology,2001,19(19):475-496.

[4] MATSUURA E,NOZUMA S,TASHIRO Y,et al.HTLV-1 associated myelopathy/tropical spastic paraparesis (HAM/TSP):A comparative study to identify factors that influence disease progression[J].Journal of the Neurological Sciences,2016,371:112-116.

[5] YAMANO Y,NAGAI M,BRENNAN M.Correlation of human T-cell lymph tropic virus type 1 (HTLV-1) mRNA with proviral DNA load,virus-specific CD8(+) T cells,and disease severity in HTLV-1-associated myelopathy (HAM/TSP)[J].Blood,2002,99(1):88-94.

[6] COOK L B,ELEMANS M,ROWAN A G.HTLV-I:Persistence and pathogenesis[J].Virology,2013,435(1):131-140.

[7] ASQUITH B,BANGHAM C R M.How does HTLV-I persist despite a strong cell-mediated immune response[J].Trends in Immunology,2008,19(1): 4-11.

[9] 王彩霞,王战伟.一类具有后向分支的HTLV-I模型[J].河南科学,2011,29(5):517-519.

WANG C X,WANG Z W.Backward bifurcation of a HTLV-I mode[J].Henan Sciences,2011,29(5):517-519.

[10] LI M Y,LIM A G.Modeling the role of tax expression in HTLV-I persistence in vivo[J].Bulletin of Mathematical Biology,2011,73(12):3008-3029.

[11] LI S M,ZHOU Y C.Global dynamics of an HTLV-I model with cell-to-cell infection and mitosis[J].Abstract & Applied Analysis,2014,2014:1-12.

[12] LIM A G,MAINI P K.HTLV-I infection:A dynamic struggle between viral persistence and host immunity[J].Journal of Theoretical Biology,2014,352(1786):92-108.

[13] ZHOU Y C,LI S M.Backward bifurcation of an HTLV-I model with immune response[J].Discrete and Continuous Dynamical Systems,2016,21 (3):863-881.

[15] WODARZ D,NOWAK M A,BANGHAM C R.The dynamics of HTLV-I and the CTL response[J].Immunology Today,1999,20(5):220-227.

[16] LANG J,LI M Y.Stable and transient periodic oscillations in a mathematical model for CTL response to HTLV-I infection[J].Journal of Mathematical Biology,2012,65(1):181-199.

[17] YANG X，CHEN L，CHEN J.Permanence and positive periodic solution for the single-species nonautonomous delay diffusive models[J].Computers and Mathematics with Applications,1996,32(4):109-116.

[18] DRIESSCHE P V D,WATMOUGH J.Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission[J].Mathematical Biosciences,2002,180(1/2):29-48.