机动转弯条件下转子有限元建模方法

张 鹏，罗贵火，王 飞

（南京航空航天大学江苏省航空动力系统重点实验室，南京210016）

0 引言

机动性是飞机重要的战术性能指标，良好的机动性能为飞机带来优异的空中格斗和突防能力。机动飞行会使飞机转子系统承受附加离心力及附加陀螺力矩的影响，飞机转子动力特性也将发生改变。文献[1]考虑了圆盘自由度，利用柔度影响系数法建立了双盘悬臂转子的运动微分方程，研究了水平盘旋和俯冲拉起条件下转子的振动特性；文献[2]以Jeff cot转子为研究对象，利用Lagrange方程建立圆盘的运动微分方程，并对机动飞行下转子的非线性特性进行求解；目前诸多研究[3-8]将圆盘和转子轴视为2个单元，利用柔度影响系数法或Lagrange方程进行建模，在保证计算正确性的同时有效地减少了计算量，但由于转子简化后的自由度较少，计算得到的振型误差相对较大，难以获得转子轴上各位置的响应情况，有一定的局限性。

本文针对机动转弯飞行动作，利用能量法对各有限单元的矩阵进行推导，并对各单元的载荷向量进行推导，建立能够考虑转弯过载的转子有限元建模方法，为机动转弯条件下转子动力学研究提供1种新方法。

1 单元矩阵的推导

1.1 刚性圆盘单元

由文献[9]结论可得圆盘惯性矩阵Me和陀螺矩阵Ge

式中：md为圆盘质量；Id为圆盘直径转动惯量；IP为圆盘极转动惯量。

1.2 线性弹簧单元

由文献[9]结论可得线性弹簧单元的刚度矩阵Kse和阻尼矩阵Cse

式中：Ks1、Ks2分别为线性弹簧在x、y正交方向的刚度系数；Cs1、Cs2分别为线性弹簧在x、y正交方向的阻尼系数。

1.3 Timoshenko梁单元

本文采用考虑剪切变形和转动惯量的Timoshenko梁单元建立转子模型。梁单元局部坐标如图1所示，考虑剪切变形的梁单元如图2所示。

图1 梁单元局部坐标

图2 考虑剪切变形的梁单元

梁单元内任一点位移用形函数和节点位移表示为

其中

根据文献[11]，Timoshenko梁单元的形函数为

定义剪切修正系数为

式中：μ为轴段材料的泊松比；λ=ri/ro，为内径与外径之比。

轴段的截面惯性矩表达为

式中：R1为轴段内圈半径；R2为轴段外圈半径。定义常数

式中：Ge、Ae分别为剪切模量和截面面积；Ee、Ie分别为材料弹性模量和轴段截面惯性矩。

根据文献[11]，长度为le的Timoshenko梁单元刚度矩阵Ke可表达为

其中

单元的惯性矩阵Me可表达为

其中

单元的陀螺矩阵Ge可表达为

其中

2 载荷向量的推导

2.1 机动转弯轨迹建模

为便于描述机动飞行过程中飞机的姿态，建立机身坐标系如图3所示。其中o0x0y0z0为静止的地面坐标系，obxbybzb为固定在机身上的机身坐标系。

图3 飞机姿态坐标系

飞机的整个机动转弯过程如图4所示，机身姿态如图5所示。飞机在直线段Ⅰ以平飞姿态进行直线飞行；在转弯段Ⅰ内，飞机沿机身中轴线zb滚转角度θB，并且以正弦变机动角速度ωB通过转弯段Ⅰ；随后，无人机以转弯段Ⅰ末的姿态完成转弯段Ⅱ的飞行；在转弯段Ⅲ内，飞机沿机身中轴线zB滚转角度-θB，并且以余弦变机动角速度ωB通过转弯段Ⅲ；最后，飞机完成转弯，沿直线段Ⅱ进行直线平飞。

图4 机动转弯轨迹

图5 机动转弯机身姿态

根据以上叙述，假设机动转弯过程中飞机的机动角速度表达为[3]式中：ω0为稳定的机动转弯角速度；t1、t2、t3分别为直线段Ⅰ、转弯段Ⅱ、直线段Ⅱ结束的时刻。

假设机动转弯过程中飞机的滚转角度表达为

式中：θ0为稳定的机身滚转角度。

2.2 梁单元的附加离心力载荷向量

机动转弯条件下单位长度梁单元所受的附加离心力作功为

式中：ωB为机动角速度；RB为转弯轨迹半径；ρe为轴的密度；Ae为轴的截面积；dξ为微元段长度。

对式（14）沿梁单元长度方向积分得

定义

将式（3）、（16）代入式（15）得

其中

由Lagrange方程得梁单元附加离心力向量为

其 中

2.3 梁单元的附加陀螺力矩载荷向量

机动转弯时梁单元微元段由于转动所承受的动能增量为

对式（20）沿梁单元长度方向积分得

定义

将式（3）、（22）代入式（21）得

其中

由Lagrange方程得梁单元附加陀螺力矩向量为

其中 B'=2ρeIeΩzωB。

2.4 梁单元的重力载荷向量

类比轴所受附加离心力的推导过程，可得机动转弯时轴所受重力载荷向量为

式中：Z2n-1=-Ansin θB；Z2n=Ancos θB，（n=1，2，3，4）；An的定义见式（16），Z(=gρeAe，g为重力加速度。

2.5 圆盘的载荷向量

机动转弯时盘承受附加离心力为

盘所受附加离心力在机身坐标轴的分量为

机动转弯时盘承受附加陀螺力矩大小为

盘所受附加陀螺力矩在机身坐标轴的分量为

将盘在机动转弯过程中所受的附加载荷写成向量形式

由图5可得，机动转弯时，盘所受重力在机身坐标系x、y方向的分解为

因此，盘的重力载荷向量为

由于制造误差等因素，盘的质心会偏离盘心一定的距离，使得盘在转动过程中会承受不平衡力载荷，可表达为

式中：me为不平衡量；Ω为自转转速；t为时间。

3 单元矩阵及载荷向量的组装

根据文献[12]，对上述推导的单元矩阵和载荷向量进行组装，形成系统惯性矩阵、刚度矩阵、陀螺矩阵和阻尼矩阵分别为M、K、G、C，系统总外载荷向量Psum为

形成转子运动微分方程

4 机动转弯转子振动响应算例

双盘转子有限元模型如图6所示。以图6中的转子为研究对象，计算转子在机动转弯过程中的响应。转子参数见表1，转弯轨迹参数见表2。

图6 双盘转子有限元模型

将表1和表2中的数据代入式（36），为提高计算效率，利用固定界面模态综合法对系统进行自由度缩减[13-15]，对缩减后的模型进行Newmark数值求解[10,16]，得圆盘处的瞬态轴心轨迹如图7所示，平飞段稳态轴心轨迹如图8所示，转弯段稳态轴心轨迹如图9所示。

从图7中可见，盘心首先在直线段Ⅰ的位置进行圆周运动；当飞机进入转弯段Ⅰ时，盘心沿转弯段Ⅰ的箭头方向进行螺旋运动，最终到达转弯段Ⅱ的位置，在该位置，飞机作稳定的转弯机动，盘心作稳定的圆周运动，但圆周运动的圆心与直线段Ⅰ的不同；当飞机退出转弯机动时，即飞机进入转弯段Ⅲ，此时盘心沿转弯段Ⅲ箭头方向进行螺旋运动退出转弯机动，最终到达直线段Ⅱ的位置，即回到进入转弯段Ⅰ之前的位置继续做圆周运动。

表1 转子参数

表2 转弯轨迹参数

图7 圆盘处的瞬态轴心轨迹（转速为5000 r/min）

图8 平飞段稳态轴心轨迹

图9 转弯段稳态轴心轨迹

从图8、9中可见，平飞和转弯时盘心轴心轨迹都是1个圆，半径大小受不平衡量的影响。对比2图可知机动转弯产生的附加载荷会使转子产生不可忽略的静位移，在实际航空发动机中，这会使得转子系统与周围静子件有发生碰摩的危险。

5 结束语

（1）推导了1套机动转弯条件下转子有限元建模方法，能够方便地考虑轴所承受的附加载荷以及转子支承的非线性力，使机动条件下转子系统建模能够方便地考虑更多的自由度。

（2）求解了线性转子系统在机动转弯条件下的响应，结果表明机动转弯产生的附加载荷会使转子产生静位移。

（3）本文算例的研究对象为某线性转子系统，为了更加贴近实际，未来可将转子支承表示为非线性，作为非线性力加在系统运动微分方程的右端。

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