精确直线可展机构及其动力学分析

畅博彦 李文启 金国光 宋艳艳

1.天津工业大学机械工程学院，天津，300387 2.天津工业大学天津市现代机电装备技术重点实验室，天津，300387

0 引言

可展机构是由预制单元集成的，能够从初始的紧密构形展开到预先设定的展开构形，且是具有一定承载能力的机构。可展机构中的直线可展机构在交通运输和航空航天等领域［1-3］有着广泛的应用前景。

直线运动机构是构造直线可展单元的基础，如 Peaucellier-Lipkin机构、Kempe机构、Sarrus机构、Hart直线机构、Bricard直线机构和Radasat雷达天线展开机构［4］等，均可实现精确直线运动；Watt机构、Roberts机构、Chebyshev机构、Hoekens机构、λ形机构等［5-7］可实现近似直线运动，且以上所述直线运动机构中均只含有转动副。LU等［8］以Hoekens机构为基础，设计得到一种新型直线可展单元，研究了该可展单元的模块化组成原理，构造出了一种大型直线可展机构，并对机构的静刚度进行了分析。YANG等［9］以混联运动支链替代Sarrus机构原有支链，设计得到6种对称结构的直线运动机构，所得机构与Sarrus机构相比，具有更好的力承载性能。张武翔等［10］以调整结构势能最小为目标，研究了Radasat机构尺寸调整的数学模型，给出了2种有效的杆长尺寸调整方法。WEI等［11］对单闭环空间对称8R机构的几何运动特性进行了分析，构造出一种空间直线可展单元，并通过扩展设计得到一种新的矩形直线运动机构，该机构只有一个自由度，属于高度过约束机构。DING等［12］依据多面体几何理论，将一种特殊结构的空间连杆机构用于直线可展机构的设计，并对可展机构的运动特性进行了分析。

剪叉机构因其具备可展性好、制造安装方便的优点，是直线可展单元模块化扩展时的一种常用机构［13］。李端玲等［14］基于螺旋理论和球面几何理论，对单个球面剪叉单元的自由度特性进行了研究，建立了包含n个支链、m个剪叉单元的球面可展机构运动学模型。袁茹等［15］、孙远涛等［16］分别以剪叉式环形阵列机构和直线阵列机构为对象，建立了机构的运动学和动力学模型，并对机构展开过程中的动态特性进行了研究。

本文将Hart直线机构和剪叉机构相结合，提出一种仅含转动副的直线可展单元，经模块化组合和扩展后，构造出一种精确直线可展机构，并对该机构的结构学、运动学和动力学进行分析和仿真研究。

1 精确直线可展机构及其组成原理

图1为精确直线可展机构实物图，该机构由图2所示的3种模块（即底部模块、中部模块和顶部模块）经转动副顺序连接而成。3种模块均为轴对称结构，并由2组同类型的直线可展单元反向对称安装而成，其中直线可展单元根据所在模块位置不同，其结构略有差异，但均以Hart直线机构和剪叉机构为基础构造得到，构造过程见图3。

图1 精确直线可展机构实物图Fig.1 Physical map of the accurate straight-line deployable mechanism

图2 三种模块简图Fig.2 Diagram of the three modules

Hart直线机构是一种特殊的平面六杆机构，见图4，其中以杆AB为机架，可将杆BG的摆动转化为点F沿y轴方向的精确直线运动。根据该机构的几何尺寸要求，需要有 LAE=LFE成立，由此关系可得配对剪叉机构的杆长约束条件为LAE=LEH=LFE=LEI，因此，在直线可展单元中，有如下关系成立：

即I点的运动轨迹为沿x轴方向的精确直线，用于实现剪叉机构的开合运动。

机构模块化装配时，可通过改变中间模块的数量来调节机构的行程；机构模块化装配完成后，通过控制剪刀叉的开合可实现相邻模块间运动和动力的传递，并最终实现机构的展开或收合运动，见图5。

图3 三种直线可展单元构成简图Fig.3 Diagram of three straight-line developable units

图4 Hart直线机构Fig.4 Hart straight-line mechanism

图5 精确直线可展机构的两个构态Fig.5 Two configurations of the accurate straight-line deployable mechanism

该精确直线可展机构与现有机构相比具有如下优点：①仅含有转动副，机构具有耐磨性强、使用寿命长、加工制造方便、不易卡死等优点；②采用模块化设计，通过改变中部模块的安装数量可实现最大伸缩量的改变，机构应用范围广，适应能力强；③采用对称布置结构，增大了机构的整体支撑强度，具有承载能力高、力传递性能好的优点；④该机构可实现精确直线运动，且为单自由度机构，有利于实现对机构的精确控制。

2 精确直线可展机构运动学建模

Hart直线机构中各杆件长度需满足：以短杆FG的杆长为单位长度，杆AE和杆FE的长度均为杆FG长度的1/k倍，杆AB的长度为杆FG长度的(1-k2)/k2倍，杆BG的长度为杆FG长度的1/k2倍，杆CD的长度为杆FG长度的(1-k2)/k倍，k为机构的杆长比例系数且0＜k＜1；点D距点A的长度等于杆CD的长度，点C距点B的长度等于杆AB的长度。

以点A为原点，杆AB为 x轴，建立固定坐标系 Oxy，各杆件与 x轴夹角分别为 θ1、θ2、θ3、θ4、θ5（见图4）。

针对闭环运动链ABCDA，列写闭环矢量方程：

即

针对闭环运动链AEFGBA，列写闭环矢量方程：

即

将各杆件的长度关系代入式（2）和式（3），并结合装配关系可求得

根据几何关系，F点坐标（xF，yF）可表示为

将式（7）代入式（8）中可得即Hart直线机构中，点F的运动轨迹为沿 y轴方向的精确直线，其运动规律可通过式（9）中 yF的表达式求得。

n层精确直线可展机构中共含有n个模块（n≥2），包括1个底部模块、（n-2）个中部模块和1个顶部模块，见图6。以各模块内部的可展单元为研究对象，在各自的动坐标系中，其运动规律均满足式（4）～式（9）。通过各模块的叠加实现了对机构直线运动行程的比例放大，即第n层模块中点F的运动规律可以表示为

图6 n层精确直线可展机构简图Fig.6 Accurate straight-line deployable mechanism consisted with n-layer modules

3 精确直线可展机构动力学建模

基于Lagrange方程进行系统动力学分析，选定系统广义坐标，求出系统动能、势能和广义力的表达式，代入Lagrange方程中，即可导出系统动力学方程

式中，l为系统的自由度；qi为广义坐标；U为系统的总势能；T为系统的总动能；Qi为对应于广义坐标qi的广义力。

3.1 系统的总重力势能

图6中，3种模块中共有8种杆，分别是杆AB、杆AE、杆AH、杆BG、杆CD、杆FE、杆FI、杆FG，对应杆件的数量分别为（n+1）个、2个、2（n-1）个、2n个、2n个、2个、2（n-1）个、2n个，各杆件质量分别用 m1、m2、m3、m4、m5、m6、m7、m8表示。

假设机构中各构件均为匀质杆，且其质心为杆件的几何中心，根据机构的组成原理和轴对称性，可得8种杆件质心坐标的通用表达式为

由式（12）～式（19）可求解得到n层精确直线可展机构中全部杆件的质心坐标。根据所求质心坐标，n层精确直线可展机构的总重力势能为

3.2 系统的总动能

n层精确直线可展机构中，所有杆件均作平面运动，各杆件动能的通式为

式中，J为各构件绕质心的转动惯量；ω为各构件绕质心转动的角速度；m为各构件的质量。

根据式（21），可得到系统中8种类型杆件的动能分别为

式中，J2、J3、J4、J5、J6、J7、J8分别为杆AE、杆AH、杆BG、杆CD、杆FE、杆FI、杆FG绕其各自质心的转动惯量。

综上8种类型杆件的动能，进而可求得系统的总动能为

3.3 系统动力学模型的建立

n层精确直线可展机构为单自由度系统，选取杆BG的转角θ1为广义坐标，忽略各运动副间的摩擦、间隙和杆件变形，将式（20）和式（22）代入式（11），可建立系统动力学模型：

根据所建动力学模型的表达式（式（23）），即可求出该机构在给定运动规律时，所需的驱动力矩，数值计算过程见图7。

图7 动力学数值仿真流程图Fig.7 Flow chart of the simulation for dynamics

4 精确直线可展机构动力学仿真

以图1所示的3层精确直线可展机构为例，对其进行动力学数值仿真和虚拟仿真。取杆FG的长度 LFG=0.06 m，杆长比例系数k=0.5，各杆件横截面均为0.016 m×0.006 m的矩形，材料均选用铝合金，密度为2 700 kg/m3，该机构各构件几何参数与物理参数见表1。

表1 精确直线可展机构的几何参数与物理参数Tab.1 Geometric parameters and physical parameters of accurate straight-line deployable mechanism

在SolidWorks软件中按照表1所示的参数建立3层精确直线可展机构的三维模型，见图8。对机构进行虚拟运动仿真，得到该机构在不发生干涉的条件下，θ1=10.4°时机构处于最大压缩状态；θ1=51.4°时机构处于最大伸展状态。将θ1min=10.4°和 θ1max=51.4°代入该机构的伸缩率计算通式：

其中，smax、smin分别为点F与点A距离的最大值和最小值，进而可求得该组参数条件下机构的伸缩率为3.69。

图8 3层精确直线可展机构三维图Fig.8 The 3D modeling of accurate straight-line deployable mechanism consisted with 3-layer modules

设杆BG为驱动杆，初始位置时机构处于最大压缩状态，0～6 s时驱动杆沿顺时针方向以6.83°/s的角速度进行匀速转动，6～8 s时保持静止，8～14 s时驱动杆逆时针以6.83°/s的角速度进行匀速转动。运用Motion插件对机构进行动力学分析，得到精确直线可展机构末端执行器输出（即顶部模块F点）的运动规律和机构所需的驱动力矩。根据相同的机构结构参数和运动输入参数，基于动力学模型式（23），运用数值仿真软件进行数值计算，将得到的数值计算结果与虚拟仿真结果相比较见图9和图10，可以看出，虚拟仿真结果与数值计算结果一致，验证了所建动力学模型的正确性和有效性。

由图9可以看出，在输入运动规律为匀速运动的条件下，运动开始和运动终止时，机构末端执行器输出速度分别由0突变为0.125 m/s，再由-0.125 m/s突变为0，理论上此时加速度趋近于无穷大，由此产生的巨大惯性力导致机构存在刚性冲击；运动时间为6 s和8 s时，机构末端执行器输出的速度为0，但加速度出现有限值突变，导致惯性力突然变化而产生柔性冲击。以上两类冲击将直接作用于末端执行器，并对机构的运动稳定性、可靠性和运动精度产生影响，因此，必须对输出末端执行器的运动规律和驱动力矩进行优化。选取正弦加速度曲线为机构末端执行器的输出运动规律，根据几何参数可得到末端执行器的位移满足：

图9 末端执行器输出运动规律Fig.9 The motion of end-effector

图10 驱动力矩曲线Fig.10 The curve of driving torque

通过数值仿真软件对式（25）所示的精确直线可展机构末端执行器的输出运动规律进行数值计算，得到其运动规律见图11。由图11可以看出，对机构的运动规律进行优化后，机构在整个运行过程中，末端执行器输出的速度和加速度均连续，且在机构运动开始、运动时间为6 s、运动时间为8 s和运动终止时，速度和加速度均为零，不产生刚性或柔性冲击，保证了机构在连续运动过程中不会对末端执行器产生冲击作用，从而有效提高了机构的稳定性、可靠性和运动精度。

联立式（25）、式（9）和式（10），可求出杆BG的转角θ1，再将求解得到的θ1代入机构动力学方程式（23）中，可求解得到优化后机构所需的驱动力矩见图12。

图11 优化后末端执行器的输出运动规律Fig.11 The motion of end-effector after optimization

图12 优化后驱动力矩曲线Fig.12 The curve of driving torque after optimization

5 结论

（1）提出了一种新型精确直线可展机构，阐述了该机构的模块化组成原理，并运用矢量代数法构建了机构的运动学模型。

（2）运用Lagrange方法建立了新型精确直线可展机构的动力学模型，并以3层精确直线可展机构为例，应用虚拟仿真技术验证了所建动力学模型的正确性，所建动力学模型可为机构的动力学分析和优化设计奠定基础。

（3）针对匀速驱动时精确直线可展机构存在刚性和柔性冲击的问题，对该机构末端执行器输出运动规律和驱动力矩进行优化设计。结果表明：末端执行器的输出运动规律采用正弦加速度曲线时，可有效避免由于机构惯性力过大而产生的冲击作用，为保证机构运动的稳定性、可靠性和精确性提供了方法和依据。

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