二阶复域微分方程解的径向振荡

孙桂荣，杨琰琰

（苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州 215009）

1 主要定理

文中采用值分布论的标准符号，用ρ（f）和 μ（f）分别表示 f（z）的增长级和下级，用δ（a，f）表示函数 f（z）在点a的亏量，详见文献[1-6]。

如果 0＜α＜β≤2π，记

分别表示复平面上的角域和扇形区域，并用表示Ω（α，β）的闭包。

当 g（z）为 Ω（α，β）内的解析函数时，定义 g（z）在 Ω（α，β）角域内的级如下

其中

另外，g（z）在射线 argz=θ上的径向级ρθ（g）定义为。

显然，如果 g（z）在复平面上解析，则对任意的 α，β（0＜β－α≤2π），有ρ（g）≥ρα，β（g）。 并且不难发现对于无穷级超越整函数 g（z），一定存在某个角域 Ω（α，β）使得ρα，β（g）=∞，但是不能保证ρα，β（g）=∞ 在任意的角域内成立。例如，g（z）=eez满足ρ（g）=∞ 而ρπ/2，3π/2（g）=0。一个自然的问题是：使ρα，β（g）=∞ 的角域 Ω（α，β）有多大？用mes（E）表示E的Lebesgue测度；如果集合E⊂[1，∞），用来表示E的对数测度，并定义E的上对数密度和下对数密度如下

下面就刚才的问题对二阶齐次线性微分方程

的无穷级整函数解进行讨论。为此定义

黄志刚和王珺对方程（1）中系数满足条件μ（A）＞ρ（B）的情形进行了讨论，得到如下结果：

定理1[7]假设 A（z），B（z）为整函数且 μ（A）＞ρ（B）。 如果 f（z）是方程（1）的非平凡解，则有

文中不要求B（z）的增长级小于A（z）的下级，结论如下：

定理2假设 A（z）是超越整函数且 μ（A）＜1/2，B（z）是有限级的整函数且有一个有限亏值 a，即 δ=δ（a，B）＞0。 若 f（z）是方程（1）的非平凡解，则

其中。

2 相关引理

在讨论相关预备定理之前先介绍一下角域内特征函数的一些记号[4，8]。 如果 0＜β－α≤2π，g（z）是角域Ω（α，β）内的亚纯函数，记

其中表示 g（z）在 Ω（α，β）内的所有极点（计算重数）。 特别地，用 σα，β（g）表示Sα，β（r，g）的级，定义为。

引理 1[9]如果 A（z）是超越整函数且 μ（A）＜1/2，B（z）是有限级的整函数且有一个有限亏值 a，即δ=δ（a，B）＞0，则方程（1）的每个非平凡解 f（z）都是无穷级的。

引理 2[10]设 z=reiφ，r0+1＜r，α＜φ＜β，其中 0＜β＜α≤2π。 如果 g（z）是角域 Ω（α，β）上的亚纯函数且 σα，β（g）是有限值，则存在仅与 g和 Ω（α，β）有关而与 z的选择无关的正数 K1和 M1，使得对所有的 z∈Ω（α+ε，β－ε）（至多除去一个 R-集 D1），有。

引理 3[8]假设 z=reiφ，r＞r0+1，α≤φ≤β，0＜β－α≤2π，如果 g（z）在角域 Ω（α，β）内解析且 σα，β（g）＜∞。 则对任意∈∈（0，（β-α）/2）至多除去一个零线性测度集外，存在仅与g和Ω（α，β）有关而与z的选择无关的正数K2和 M2，使得对所有的 z∈Ω（α+ε，β-ε）（至多除去一个 R-集 D2），有其中

其中。

下面的引理及注解参见文献[9]。

引理 4假设A（z）是满足0＜μ（A）＜1/2的整函数，B（z）为亚纯函数且ρ（B）＜+∞。 如果B（z）有一个有限

其中d的表达式如定理2所示。

注如果A（z）是下级μ（A）=0的整函数，引理4仍成立。

引理5[11]假设 g（z）是下级 0≤μ（g）＜1 的整函数。 则对每个 α∈（μ（g），1），存在集合 E⊂[0，∞）使得，其中亏值 a，即 δ=δ（a，B）＞0，则对任意给定的常数 ε＞0，存在序列{Rn}，Rn→∞，使得 n 充分大时，下面两个不等式同时成立。

3 定理证明

由引理 1 知方程（1）的每一个非平凡解都是无穷级的，下面证明 mesI（f）≥d。 假设 mesI（f）＜d，则η=d-mesI（f）＞0。 因为 I（f）是闭集，所以 S=2πI（f）是开集，且 S 至多由可数多个开区间构成。 选择有限多个区间 Ik=（αk，βk）（k=1，2，…，m）使得 Ik⊂S 且。 对角域 Ω（rk，αk，βk），易见当 rk充分大时，

这意味着对每个 k=1，2，…，m，ραk，βk（f）＜∞，因而由 Sαk，βk（f）的定义可得 σαk，βk（f）＜∞。 于是由引理 2 和引理 3得：对充分小的ε＞0，存在正常数M及K使得

对所有的成立，至多除去一个 R-集 H1。

下面分两种情形证明定理结论。

情形 10＜μ（A）＜1/2。 对 A（z）和 B（z）运用引理 4 ，存在序列{Rn}，Rn→∞，使得 n 充分大时，（2）式和（3）式同时成立，从而

不失一般性，假设（6）式对所有的n成立。显然，

则对每个n有

设 a 是 B（z）的有限亏值，则由方程（1）得

这说明在 Ik（k=1，2，…，m）中至少存在一个开区间 Ik0=（α，β）使得对无穷多个 n，有

于是对这些 n 和 φ∈Fn∩（α，β），有

由（4）、（5）、（7）和（8）式得

这是一个矛盾。

情形 2μ（A）=0。 由引理 5，存在集合 E⊂[0，+∞）使得，使得对所有 z，|z|=r∈E 有，

其中。

由引理4的注解，类似于情形1可得：对E中的序列Rn（至多除去一个R-集H2），在Ik（k=1，2，…，m）中至少存在一个开区间Ik0=（α，β）使得对无穷多个 n，有 mes（Fn∩（α，β））＞η/2m＞0。 于是对这些 n 和φ∈Fn∩（α，β），当 z=Rneiφ，φ∈Fn∩（α，β）时，（4）、（7）、（10）式同时成立，由此可得

这是一个矛盾，因为A（z）是超越整函数。□

4 结语

笔者在文献[7]的基础上，对二阶齐次线性微分方程的增长级在角域内的分布估计进行了研究，通过考虑方程系数对方程解的制约影响，得到方程解的径向振荡与系数增长级之间的关系，使得二阶齐次线性微分方程解的增长性问题的讨论进一步完善。

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