高三数学综合试卷四

杨海霞

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）

1.在复平面内，复数z=2i1+i（i为虚数单位）对应点的坐标是 .

2.设集合A={0，a}，B={2a，b}，若A∩B={1}，则A∪B= .

3.“x=π4”是“tanx=1”成立的 条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”.）

4.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）所得数据如图，那么在这100株树木中，底部周长不小于110cm的有 株.

5.在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1>2S2的概率是 .

6.已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为 .

7.若双曲线x2m-y2m+2=1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，则双曲线的离心率为 .

8.当x∈[2，8]时，关于x的不等式log2x+logx16-a≥0恒成立，则实数a的取值范围是 .

9.如图是一个算法流程图，则输出的P= .

10.已知角α的终边过点P（-4a，3a）（a≠0），则sin（π+α）sin（π2-α）的值是 .

11.设x，y∈R，向量a=（x，1），b=（1，y），若|a+b|=|a-b|，则a与a+b的夹角是 .

12.若x>12，则4x+41-x2x-21-x的最小值为 .

13.设函数f（x）是偶函数，且当x≥0时，f（x）=||x-a|-b|（a，b>0），若方程f（x）=2有8个不同实数根，且它们成等差数列，则a-b= .

14.在等差数列{an}中，若a21+a27=18，则数列{an}前15项和S15的最大值为 .

二、解答题（本大题共6小题，共计90分）

15.（本题满分14分）

如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD为菱形，OA⊥平面ABCD，E为OA的中点，F为BC的中点.

（1）求证：直线BD⊥平面ACO；

（2）求证：直线EF∥平面OCD.

16.（本题满分14分）

已知在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c.若向量m=（cosB，sinC），n=（cosC，-sinB），且m·n=-22.

（1）求∠A的大小；

（2）若边a=2且cosB=35，求△ABC的边c的大小.

17.（本题满分14分）

如图所示，有一块半径长为2米的圆形钢板，现要从中截取一个内接四边形ABCD加工成一个零部件，已知A、B为圆O上的两个固定点，且∠AOB=π2，P为优弧AB的中點.设C、D（C在D左侧）为优弧AB上的两个不同的动点，且CD∥AB.记∠POD=α，四边形ABCD的面积为S平方米.

（1）求S关于α的函数关系式，并指出其定义域；

（2）当α为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值.

18.（本题满分16分）

如图，椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）和圆C2：x2+y2=b22，椭圆C1短轴的上端点为A，左焦点为F，直线AF与圆C2相切，且与椭圆交于另一点B，椭圆C1左焦点到左准线的距离为1.

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设点N为椭圆C1上异于A、B的任意一点，求△ABN面积的最大值；

（3）试探求x轴上是否存在定点M，使得∠AMF=∠BMF，若存在，求点M的坐标，若不存在，则说明理由.

19.（本题满分16分）

设数列{an}的首项a，前n项和为An，且An+An+1=2n2+2n+1（n∈N*），

（1）设{an}为等差数列，求数列{an}的通项公式；

（2）设A2015=2014×2016，求a；

（3）设bn=|2a2n-2a2n-1|，数列{bn}的前n项和为Bn，求B10.

20.（本题满分16分）

已知函数fn（x）=xn（a-x），（n∈N*，a∈R）.且曲线y=f2（x）在x=1处的切线方程为x+y+b=0.

（1）求实数a，b；

（2）求函数y=fn（x）（n∈N*，n为常数）在区间[0，2]上的最小值；

（3）证明：x∈（0，+∞），n∈N*，均有n·fn（x）<1e.

附加题

21.

B.选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）

已知矩阵M=12

2x的一个特征值为-1，求其另一个特征值.

C.选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆C经过点P（3，π6），圆心为直线ρsin（π3-θ）=32与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.

22.（本小题满分10分）

如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PD=CD，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点.

（1）求二面角BDEC的平面角的余弦值；

（2）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？若存在，求点F的坐标，若不存在说明理由.

23.（本小题满分10分）

设f（n）=2Cn2nCn+12n+2，（n∈N*）.

（1）若f（n）=611，求n的值；

（2）求证：2<[2f（n）]2n+1<3（n∈N*）.

参考答案

一、填空题

1.（1，1）

2.{0，1，2}

3.充分不必要

4.30

5.13

6.33π

7.2

8.（-∞，4]

9.56

10.1225

11.π4

12.4

13.4

14.75

二、解答题

15.（1）因为OA⊥面ABCD，BD面ABCD，

所以OA⊥BD.

又因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

因为OA，AC面ACO且OA∩AC=A，

所以BD⊥面ACO.

（2）取OD的中点G，连结EG，CG，

在△AOD中，E为OA的中点，G为OD的中点，

在菱形ABCD中，F是BC的中点，

所以EF∥CG.

又因为CG平面OCD，EF平面OCD，

所以EF∥平面OCD.