一般非惯性系中的刚体动力学

陈余华

(江西省大余中学 江西 赣州 341500)

黄亦斌

(江西师范大学物理与通信电子学院 江西 南昌 330022)

1 理论

在一般旋转的非惯性系中，质点的加速度a′与其在惯性系中的加速度a的关系[1]为

a=a′+a0+α×r′+

Ω×(Ω×r′)+2Ω×v′

(1)

其中a0为旋转系原点的加速度，Ω,α为旋转系的角速度和角加速度，r′,v′为质点在旋转系中的矢径和速度.由此可以得到非惯性系中的质点动力学表达式[1]

F-ma0-mα×r′-mΩ×(Ω×r′)-

2mΩ×v′=ma′

(2)

左边第一项为真实力，其他都是惯性力，包括牵连惯性力-ma0-mα×r′-mΩ×(Ω×r′)和科里奥利力-2mΩ×v′.这就是说，牛顿第二定律的形式在各种参考系中都是一样的，只要加上各种惯性力.

质点系情形会如何？此时，式(2)中新增的惯性力都是外力，内力情形不变，故而各种结论不变，只要在外力项中增加惯性力项即可.文献[2]给出了一般非惯性系中的质点系角动量定理.本文欲讨论其中的刚体动力学方程.教材[3]对此有讨论，但其主要使用分量语言，且主要是举例说明.本文将使用矢量语言，并给出一般结论.

(3)

故有

(4)

这就是一般非惯性系中的质心运动定理.可见，就此而言，各处惯性力的效应只需集中于质心即可.这其实是因为，式(3)是矢径(或速度)的一次式，而质心正是按一次式等效来定义的.

(5)

(6)

后几项由于是矢径(或速度)的二次式，就不可能还是那么简单了.以下逐项分析.惯性力矩第二项等于

惯性力矩第三项等于

而科里奥利力矩为

于是，角动量定理式(5)左边的总力矩为

将其代入式(5)，即得

Ω×Ic·(ω′+Ω)

(7)

ω′×Ic·(ω′+Ω)+Ic·(ω′+Ω)×ω′+

Ic·(β′+α)

Ic·(Ω×ω′+β′+α)

(8)

式(7)和(8)就是一般转动系中刚体对质心的角动量定理.式(4)和(8)就构成一般非惯性系中刚体动力学的完备方程组.

利用绝对导数和相对导数的关系

可以发现式(7)和(8)其实就是惯性系中的下列两个结果[4]

可见，我们的结果正确.此外，式(5)中各项惯性力的效应，只有第一项的力矩为零，故而只有该项的合力通过质心，其他项的合力都不通过质心.

2 举例

图1 在旋转的竖直平面内滚动的球

于是，质心运动定理式(4)给出

即

(9)

(10)

(11)

对质心的角动量定理式(8)给出

R×f=kMR2(Ω×ω′+β′)

(注意此时Ic对称，式(8)右边第一项为零)，即

(12)

(13)

(14)

无滑滚动条件给出

即

(15)

(16)

此外还需满足不等式N≥0和|f|≤μN.

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

参 考 文 献

1 周衍柏.理论力学教程(第3版).北京：高等教育出版社，2009.183～188

2 杭庆平.非惯性系中的质点组角动量定理.大学物理，1988 (1) :16～19

3 朱照宣，周起钊，殷金生.理论力学(下) .北京：北京大学出版社，1982.249～255，265

4 黄亦斌，曾建平，彭荣荣.刚体转动方程的矢量式——兼谈其与质点动力学的“内在统一性”.物理通报，2017(7)：17～19