APP下载

定数截尾情形下Poisson-Lomax分布的Bayes估计

2018-06-15张春雨刘禄勤

统计与决策 2018年10期
关键词:定数数据量先验

张春雨,刘禄勤

(武汉大学 数学与统计学院,武汉 430072)

1 问题的提出

随着寿命分布理论的深入发展与广泛应用,各种新型的寿命分布被相继提出。Admidis和Loukas(1998)[1]对指数分布与几何分布进行复合,得到的新分布称为Exponential-Geometric 分布;Kus(2007)[2]通过复合指数分布与Poisson分布得到了Exponential-Poisson分布;Hemmati(2011)[3]将Weibull分布与Poisson分布进行复合,提出了Weibull-Poisson 分布;Alzahrani(2014)[4]采用相同的机制对Lomax分布和Poisson分布进行复合,得到的分布称为Poisson-Lomax分布。这些文献研究了所得新分布的性质,并给出了参数在完全样本下的极大似然估计。

然而在寿命试验中,受试验时间、费用等因素的限制,取得完全样本往往有较大难度。例如,在医学药物试验中,受试者迁居外地而失去观察,对药物有不良反应从而退出试验;受试验时间、费用的限制,无法将试验进行到所有元件都失效等。在这些情形下,只能得到一组不完全样本。定数截尾是数据缺失的一种基本类型,王德辉(1999)[5]研究了定数截尾情形在熵损失函数下指数分布参数的Bayes估计,徐凌云(2010)[6]、鄢伟安(2012)[7]等给出了定数截尾情形下Exponential-Poisson分布参数的Bayes估计,并对不同损失函数下的估计进行了比较。对于上述新分布,定数截尾情形下的参数估计研究尚不全面。本文研究定数截尾情形下Poisson-Lomax分布的参数估计。

在可靠性和寿命试验研究中,Lomax分布是一种使用广泛的寿命分布。该分布包含了单调递增和单调递减的失效率,被广泛应用于分析医学、生物科学和工程科学等方面的寿命试验数据处理中。Poisson-Lomax分布是2014年由Alzahrani[4]新提出的一种三参数寿命分布,是Lomax分布的推广。

设Y1' Y2' …' Yn独立同分布于参数为α' β的Lomax分布,其密度函数为:

其中 α' β>0。Z 服从参数为 λ∈(0'M)' 0<M≤∞ 的截零Poisson分布,即:

且 Z与{Yk:k≥1}独立。令ξ=max{Y1'Y2'…'YZ},则称 ξ服从参数为 (α' β' λ)的Poisson-Lomax分布。其分布函数为:

密度函数为:

其中α'β'λ>0。该分布的危险率函数为:

随参数的不同取值,危险率函数h(x)具有单调减和单峰两种形态,其灵活的危险率函数给统计建模带来了更多的选择。文献[4]分析了该分布的密度函数与危险率函数,给出了各阶矩与顺序统计量,以及完全样本情形下参数的极大似然估计与区间估计,并将此新分布应用于实际数据。该分布在实际场景中的良好效果展示了其良好的应用前景。本文将给出定数截尾情形下Poisson-Lomax分布参数的Bayes估计,并进行数值模拟。模拟结果表明,在数据量较小时,Bayes估计优于极大似然估计。

2 参数的Bayes估计

在寿命试验中,假定n个试验对象的寿命独立同分布,规定进行到有r个试验对象失效时试验终止。设此r个试验对象的生存时间依次为x1'x2'…'xr,则x1≤x2≤…≤xr。记x=(x1'x2'…'xr),由文献[8]可知,x的联合分布密度为:故似然函数为:

先考虑 α、β已知时参数 λ的Bayes估计。记ti=(1+βxi)-α,则式(7)可记为:

取λ的先验密度为广义均匀分布:

其中0<M≤∞,则λ的Bayes后验密度为:

记为决策函数的后验风险为的损失函数,则:

λ 的Bayes估计的定义为

损失函数是影响Bayes估计效果的因素之一,Linex损失函数和刻度平方损失函数是常用的两种损失函数。刻度平方损失函数由于计算方便,在参数估计问题中应用广泛[9-11]。Linex损失函数由Varian于1975年提出,Zellner(1986)[12]将Linex损失函数用于Bayes统计推断问题,其后Linex损失函数日渐成为Bayes估计中常用损失函数之一。

本文将损失函数取为Linex损失函数和刻度平方损失函数,分别求参数的Bayes估计。

2.1 参数λ在Linex损失函数下的Bayes估计

对 λ̂= λ̂(x),Linex损失函数的定义为:

引理 1:记为 λ在损失函数式(12)下的Bayes估计,则:

证明:对式(12)求条件期望,得:

等式两端对λ̂求一阶偏导得:

令可得又:

故作为 λ在损失函数式(12)下的估计是唯一的。

定理1:对于先验分布式(9),在损失函数式(12)下参数λ的Bayes估计为:

证明:由式(10)及引理1,可得:

定理得证。

2.2 参数λ在刻度平方损失函数下的Bayes估计

对刻度平方损失函数定义为:

特别地,当 k=0 时为平方损失函数。

引理 2:记为 λ在损失函数式(19)下的Bayes估计,则:

证明:对式(19)两端求条件期望,得:

等式两端对λ̂求一阶偏导得:

令可得又:

故作为λ在刻度平方损失函数式(19)下的估计是唯一的。

定理2:对于先验分布式(9),在损失函数式(19)下参数λ的Bayes估计为:

证明:由式(10)及引理2,可得:

由式(20)、式(25)、式(26),可得式(24)。定理得证。

2.3 参数α 的Bayes估计

类似于上文对参数λ的Bayes估计,本文可以考虑λ、α已知时参数β的Bayes估计和β、λ已知时参数α的Bayes估计。限于篇幅,本文仅给出β、λ已知时参数α的Bayes估计。设 β、λ已知,则由式(7)得:

取α的先验密度为广义均匀分布:

其中0<M≤∞,则α的Bayes后验密度为:

与参数λ的Bayes估计方法类似,本文可以得到α在Linex损失函数下的Bayes估计α̂1与刻度损失函数下的Bayes估计表达式如下:

3 数值模拟

由文献[4],Poisson-Lomax分布的分位数函数为:

对参数λ的极大似然估计λ̂m及在两种损失函数下的Bayes估计 λ̂1、λ̂2进行数值模拟。步骤如下:

(1)确定需要产生的样本容量n,以及截尾数r;

(2)固定 α=2,β=0.5,对 λ'M'n'r分别取不同的值,进行后续步骤;

(3)产生独立的U1'…'Un~ Unif(0,1),令 X1=Q(U1)'…'Xn=Q(Un),则 X1'…'Xn~F(x;2'0.5'λ)。取 x1=X(1)'…'xr=X(r),计算 ti=(1+βxi)-α'i=1'…'r;

(4)计算记e-zc′,对 M < ∞ ,由大数定律:

其中,z1'…'zN~Unif(0'M)。取 N=10000'c=0.01'k=0,计算

在λ取值范围为λ∈(0'∞)时,有:

其中,z1'…'zN~Exp(1)。取 N=10000'c=0.01'k=0,计算

(5)对每个 λ的取值,重复步骤(3)、步骤(4)1000次,并求其均值、标准误、均方误差。

设 λ̂m为 λ的极大似然估计,即 λ̂m为在 α、β 已知时似然函数式(7)的最大值点,用Newton法求 λ̂m,迭代终止条件为两次结果相差小于0.001。将两个Bayes估计与极大似然估计进行比较。

由以上模拟步骤,可得如下页表1所示模拟结果。表1展示了λ=5、M=∞时,在不同的n、r取值下λ的估计。由表1可以看出,估计的准确度随n、r的增加而上升。当n不变而r增大时,准确度提高;当r不变只有n增加时,准确度同样会提高。由表1易见,此时极大似然估计优于Bayes估计。

表2(见下页)比较了在M 取有限值时两种估计的效果。取λ=4、M=100,n、r取值如表2所示。当数据缺失较多,即r较小时,极大似然估计效果较差。表2显示,r=2、r=5时,n的三种取值情形下Bayes估计均优于极大似然估计;当观察到的数据较多,即有效样本量r=20时,极大似然估计效果更好。同时,不难发现当观察到的数据很少即r=2或r=5时,表2中由左至右Bayes估计相对极大似然估计的优势越来越明显。这是因为由左至右n增大,数据缺失程度变大,极大似然估计因此效果变差。

表1 λ=5、M=∞时估计结果比较

表2 λ=4、M=100时模拟结果

表3给出了不同M取值对Bayes估计准确程度的影响。由表3可知,M=∞时Bayes估计效果最差,M=50时估计效果最好,M=100时估计效果比M=50时略差。此处M的取值在Bayes估计中决定了λ的先验分布,M取值较小,给出的先验信息更充分,估计更准确。

表3 n=1000、r=20时模拟结果

类似地,本文对参数α的两个Bayes估计进行模拟。取c=0.8、 k=2,得到表4所示结果。由表4可知,除数据量较小的n=60、r=10情形,M取值对α估计准确度影响不大,因此在数据量较大时,对α的估计可取先验分布为(0'∞)上的广义均匀分布。

表4 α=5时模拟结果

综上,可得如下结论:(1)当r很小时,Bayes估计明显优于极大似然估计;(2)r固定时,n越大,数据缺失程度越大,Bayes估计相对极大似然估计的优势越明显;(3)对参数λ而言,M取值越小估计越准确;(4)对参数α,当数据量较小时M取有限值估计更准确,数据量较大时M取值对估计准确度影响相对较小。

[1]Adamidis K,Loukas S.A Lifetime Distribution With Decreasing Failure Rate[J].Statistics and Probability Letters,1998,39(1).

[2]Kus C.A New Lifetime Distribution[J].Comput.Stat.Data Anal,2007,51(9).

[3]Hemmati F,Khorram E,Rezakhah S.A New Three-parameter Ageing Distribution[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2011,141(7).

[4]AlZahrani B,Sagor H.The Poisson-Lomax Distribution[J].Revista Colombiana de Estadística,2014,37(1).

[5]王德辉,宋立新.熵损失函数下定数截尾情形参数的Bayes估计——指数分布情形[J].应用概率统计,1999,15(2).

[6]徐凌云,朱宁,方爱秋,唐清干.定数截尾情形指数-泊松分布参数的Bayes估计[J].统计与决策,2010,(15).

[7]鄢伟安,师义民,刘英.不同损失函数下指数-泊松分布的Bayes估计[J].火力与指挥控制,2012,37(2).

[8]曹晋华,程侃.可靠性数学引论[M].北京:高等教育出版社,2012.

[9]陈家鑫.AR模型阶数依平方损失函数下的Bayes估计[J].应用概率统计,1991,(2).

[10]宋立新,陈永胜,许俊美.刻度平方误差损失下Poisson分布参数的Bayes估计[J].兰州理工大学学报,2008,(5).

[11]彭家龙,李顺波.刻度平方误差损失下二项分布无失效数据的可靠性分析[J].佳木斯大学学报:自然科学版,2009,(1).

[12]Zellner A.Bayesian Estimation and Prediction Using Asymmetric Loss Function[J].Journal of the Americcan Statistical Assication,1986,81(394).

猜你喜欢

定数数据量先验
BOP2试验设计方法的先验敏感性分析研究*
基于大数据量的初至层析成像算法优化
高刷新率不容易显示器需求与接口标准带宽
宽带信号采集与大数据量传输系统设计与研究
食有定数
这边日落
基于自适应块组割先验的噪声图像超分辨率重建
先验的风
基于平滑先验法的被动声信号趋势项消除
李河君的“定数”与“变数”