一种带有交织器的Polar码串行级联算法研究

陆艳铭 方勇

摘 要： Polar码是较新提出的一种理论上能够达到香农极限的信道编码，但其在中短码字译码性能不如LDPC码。为了让Polar码达到更好的译码性能，文中主要采用将Polar码、块交织器和LDPC码进行串行级联的方法来提高译码性能。在高斯信道环境下对这种级联码的仿真结果表明，码长、码率相同的情况下，这种级联码的译码性能优于单独的Polar码、LDPC码和不带有交织器的Polar?LDPC级联码的译码性能。

关键词： Polar码; LDPC码; 交织器; 串行级联; 信道编码; 译码性能

中图分类号： TN911.2?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2018）12?0071?04

Abstract： Polar code is a relative new channel coding that can achieve the Shannon limit theoretically， but its performance is not as good as that of LDPC codes in decoding middle and short codewords. The method of cascading the Polar code， block interleaver and LDPC code serially is adopted in this paper to make the Polar code achieve better decoding performance. The simulation was carried out for the concatenated code in the Gauss channel environment. The results show that the decoding performance of the concatenated code is better than that of the sole Polar code， LDPC code， and Polar?LDPC concatenated code without interleaver when the code length and code rate are the same.

Keywords： Polar code; LDPC code; interleaver; serial cascade; channel coding; decoding performance

0 引 言

1948年，Shannon在“A mathematical theory of communication”中證明了噪声信道编码定理，而后，编码领域的研究人员就一直在努力寻找一种信道容量能够达到香农极限的编码方式。但是信道编码理论直到20世纪90年代以后才发展起来，其中研究比较热门并被应用于多个领域的是Turbo码和低密度校验码（Low?Density?Parity?Check Codes，LDPC）。在2008年，Arikan提出信道极化现象，在2009年，提出新的信道编码方案，也就是基于信道极化现象的Polar码[1]。虽然Polar码被证明在二进制离散无记忆信道下的对称容量理论上可以达到香农极限，并且在编译码方面较其他的编码方式有较低的计算复杂度，但是在中短码字的译码方面与LDPC码相比，其译码性能不够理想[2]。对于LDPC码而言，虽然在低信噪比的信道中有着比较低的误比特率（Bit Error Ratio，BER），但是在高信噪比的信道中会有错误平层的出现。于是有研究者就提出将Polar码与LDPC码进行级联[3?7]，以期得到更好的译码效果，但其结果还不够理想。Polar码和LDPC码进行级联时，已有的方法都是直接将Polar码和LDPC码进行简单的串行级联，没有考虑到在编译码过程中可能出现的连续错误，而块交织器恰恰能够解决这一问题。所以本文主要是在级联的基础上，将块交织器加入到Polar码与LDPC码的级联码中，来提高抗突发差错能力，使级联码能够达到更好的译码性能。

1 基础背景

1.1 块交织

在Polar码与LDPC码进行级联时，为了防止信息在编码传输过程中发生突发性的连续错误，从而引入了块交织器。在对信息进行交织时，将信息按列写入一个[t]行[h]列的矩阵。其中[th=N]，[N]表示输入信源长度，[t]为[N]开平方后取整的值。然后将信息按行读出，作为交织好的信息输出。而解交织就是把交织方法按照反方向进行，即先按行写入矩阵，然后按列读出信息。信息经过交织后即使发生了连续的错误，在解交织时也会变成随机独立的差错。这样就会使级联码的性能达到更好。

1.2 LDPC码

Polar码的编码过程其实就是信道组合的过程。已知给定的码块长度为：[xN1=uN1GN]，假设[A]是[{1，2，…，N}]的子集，[Ac]是[A]的补码，则极化码的编码方式为：[xN1=uAGN（A）⊕uAcGN（Ac）]。Polar码基本的译码算法有连续消除（Successive Cancellation，SC）译码算法[1]和置信传播（Belief Propagation，BP）译码算法[7]。而在大多数文章中都采用了SC译码算法，并且学者们对Polar码进行研究时大多数也都是基于SC译码算法进行的[9?10]，所以本文主要采用SC译码算法进行下面的研究。

2 Polar码的级联方案

由于LDPC码也是能够逼近香农极限的一种编码，而且它有着非常好的误码性能;所以本文考虑将LDPC码与Polar码级联成为以Polar码为外码，以LDPC码为内码，中间以块交织器连接的级联码，即Polar?LDPC级联码。这种级联方案既可以使这两种码的缺点得到互补，也可以将其优点进一步强化：LDPC码虽然对中短码有着较好的误码性能，但是在高信噪比的信道中会有错误平层的出现，而Polar码虽然对中短码的性能没有LDPC性能佳，但是不会有错误平层的出现。因而这两种码结合而成的Polar?LDPC级联码既有较好的误码性能，又不会产生错误平层。此外，本级联码又引入了块交织器，使其具有更好的抗突发噪声和抗衰落性能。下面主要介绍Polar?LDPC级联码的具体设计思路和设计方案，最后对该级联码的译码部分做出了简单介绍。

2.1 Polar?LDPC级联码的具体设计方案

Polar?LDPC级联码是以Polar码作为外码，LDPC码为内码，中间以块交织器连接构成的级联码。本文在做研究和仿真时都是以二进制的Polar码和LDPC码进行的。Polar?LDPC级联码的具体结构框图如图1所示。

由图1可知，在信源输入端将一个长度为[k]的信源输入后，经过Polar编码器编码，得到一个长度为[N]的Polar码码字;对得到的这个长度为[N]的码字进行块交织，块交织的长度单位应满足小于长度[N]，并且[N]能够被整除。经过块交织后的长度为[N]的编码作为信源进行LDPC编码，此时，[N]等于[k]，编码后的信息码长为[m]。编码完成以后信息经过高斯信道传输，信息输出后首先经过LDPC译码器进行译码，译码后经过解交织器进行解交织，解交织后的信息传输到Polar译码器进行译码，译码后就完成了整个过程并得到信源的估计值。

Polar?LDPC级联码级联过程中具体的编码级联过程如图2所示。

由图2可知，级联码在级联时由于加入了块交织器，所以每一个Polar码的前[t]个比特位就成为了LDPC码的第一个码字块，而Polar码在接下来的[t]个比特位就成了LDPC码的第二个码字块，以此类推，Polar码的最后[t]个比特位就成了LDPC码的末位的码字块。由上述可知，Polar码的码率[R1=KN]，LDPC码的码率[R2=Km]，由于[N=K]，所以Polar?LDPC级联码的码率为[R12=（kN）*（Km）=km]。

2.2 Polar?LDPC级联码的译码方法

在Polar码与LDPC码进行级联时，外码Polar码采用的译码算法是SC译码算法，而内码LDPC码的译码算法采用的是BP译码算法。两次译码后就得到了信源的估计值。

具体的级联碼译码方法步骤如下：

1） 初始化

信源经过编码后，经过高斯信道得到一个含有[N]个[yi（i=1，2，…，N）]码元的信息[Y]。

2） Polar码译码

经过初始化后，对得到的信息[Y]进行Polar码译码。首个码元的似然比由式（4）计算得出[L（1）1（yi）]，然后将得到的[L（1）1（yi）]由式（5）计算得出该码元的估计值[u11]，剩下码元的估计值[uN1]用式（6）和式（7）进行递归调用，每次递归调用后都用式（5）进行译码判决得出信息[Y]的估计值[Y′]，Polar码译码结束。

2.3 译码时间复杂度分析

由上文可知，在Polar?LDPC级联码的级联方案中，Polar码采用的是SC译码算法，其译码方法结构比较简单，时间复杂度为[O（Nlog N）]。其中[N]为Polar码的码长。LDPC码采用的是BP译码算法，该算法的时间复杂度为[O（n）]，其中[n]为LDPC码的码长。所以当[L=N×n]时，Polar?LDPC级联码的译码时间复杂度为[O（Llog L）]。

3 仿真结果与分析

本节将利用Matlab平台对上面提出的带有交织器的Polar?LDPC级联码进行仿真，并对Polar码、LDPC码以及没有加交织器的Polar?LDPC级联码进行仿真，对其结果进行对比和分析。仿真的具体参数设置如表1所示。

如图3所示，给出Polar码、LDPC码、没有带交织器的Polar?LDPC级联码和带有交织器的Polar?LDPC级联码的性能曲线。其中码长均为1 024，码率都为[16]，级联码的外码Polar码的码率为[12]，内码LDPC码的码率为[13]。由图3可知，在相同的参数下，在信噪比为0～1.6时，LDPC码的性能均优于其他的几个编码，但是当信噪比增大时，LDPC码的性能曲线趋平，而其他的几个编码曲线则变得更陡峭些。当信噪比为0～0.6时，级联码的性能不如Polar码的性能，但是当信噪比大于0.6时，随着信噪比的增大，带有交织器的Polar?LDPC级联码的BER下降趋势更快些。当误码率为10-4时，带有交织器的Polar?LDPC级联码与无交织器的Polar?LDPC级联码的译码性能相比较，有大约0.25 dB的性能增益;与Polar码的译码性相比较，有大约0.75 dB的性能增益。因此，加入交织器的Polar?LDPC级联码在译码时能够避免更多的错误产生，有很好的误码性能。

4 结 语

为了提高Polar码的译码性能，综合Polar码和LDPC码的优点，本文主要研究分析了带有交织器的Polar?LDPC级联码，详细介绍了这种级联方法的具体方案、译码过程，并且对该级联码的时间复杂度和仿真结果进行了分析。通过仿真结果可知，在相同的编码长度、码率和信道下，这种带有交织器的Polar?LDPC级联码比Polar码和不带有交织器的Polar?LDPC级联码的性能更优。

注：本文通讯作者为方勇。

参考文献

[1] ARIKAN E. Channel polarization： a method for constructing capacity?achieving codes for symmetric binary?input memoryless channels [J]. IEEE transactions on information theory， 2009， 55（7）： 3051?3073.

[2] MENG Ya， LI Liping， HU Yanjun. A novel interleaving scheme for polar codes [C]// Proceedings of 84th IEEE Vehicular Technology Conference. Montreal： IEEE， 2016： 1?5.

[3] ESLAMI A， PISHRO?NIK H. A practical approach to Polar codes [C]// Proceedings of International Symposium on Information Theory. St. Petersburg： IEEE， 2011： 16?20.

[4] ESLAMI A， PISHRO?NIK H. On finite?length performance of Polar codes： stopping sets， error floor， and concatenated design [J]. IEEE transactions on communications， 2013， 61（3）： 919?929.

[5] ZHANG Y， LIU A， GONG C， et al. Polar?LDPC concatenated coding for the AWGN wiretap channel [J]. IEEE communications letters， 2014， 18（10）： 1683?1686.

[6] GUO J， QIN M， F?BREGAS A G I， et al. Enhanced belief propagation decoding of Polar codes through concatenation [C]// Proceedings of IEEE International Symposium on Information Theory. Honolulu： IEEE， 2014： 2987?2991.

[7] ARIKAN E. A performance comparison of Polar codes and Reed?Muller codes [J]. IEEE communications letters， 2008， 12（6）： 447?449.

[8] LIVA G， RYAN W E， CHIANI M. Quasi?cyclic generalized LDPC codes with low error floors [J]. IEEE transactions on communications. 2008， 56（1）： 49?57.

[9] TAL I， VARDY A. List decoding of polar codes [J]. IEEE transactions on information theory， 2012， 61（5）： 2213?2226.

[10] NIU K， CHEN K. Stack decoding of polar codes [J]. Electronics letters， 2012， 48（12）： 695?697.