目标先验知识未确知条件下MIMO雷达波形优化

雷晓艳 王洪雁

摘 要： 考虑杂波场景下改善MIMO雷达最差估计性能的稳健波形优化方法，根据最小最大方法，首先基于克拉美?罗界描述稳健波形优化问题。为求解所得复杂非线性问题，提出一种基于对角加载（DL）的迭代方法。此方法中，内层优化首先利用哈达玛不等式被分解为若干个子问题。基于DL方法将子问题可以转化为凸问题，外层优化同样也可转化为凸问题，因而此优化问题可获得高效求解。初始优化问题的最优解可通过对迭代优化结果的最小二乘拟合得到。数值仿真验证了所提方法的有效性。

关键词： 多输入多输出雷达； 波形优化； 对角加载； 参数估计； 半定规划； 最小二乘

中图分类号： TN951?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2018）11?0008?05

Waveform optimization of MIMO radar with imperfect target prior knowledge

LEI Xiaoyan1， WANG Hongyan2

（1. School of Network Engineering， Zhoukou Normal University， Zhoukou 466000， China；

2. School of Information Engineering， Dalian University， Dalian 116622， China）

Abstract： In this paper， the robust waveform optimization method to improve the worst?case estimation performance of multiple?input multiple?output （MIMO） radar in the clutter environment is considered. According to the min?max approach， the robust waveform optimization is described on the basis of Cramér?Rao bound （CRB）. In order to solve the complicated nonlinear problem， an iterative method based on diagonal loading （DL） is proposed. With the method， the inlayer optimization problem can be decomposed into some sub?problems first by means of the Hadamard inequation， and then these sub?problems are converted into the convex problem on the basis of DL method； the outer layer optimization problem can be also converted into the convex problem to get the effective solution of these optimization problems. The optimal solution of the original optimization problem can be obtained by means of the least squares （LS） fitting of the iterative optimization results. The efficiency of the proposed method was verified with numerical simulation.

Keywords： multiple?input multiple?output radar； waveform optimization； diagonal loading； parameter estimation； semidefinite programming； least square

0 引 言

受到多输入多输出（MIMO）技术在通信领域成功应用的启发，MIMO概念最近被引入雷达领域，并受到越来越多的关注[1]。与传统只发射相干波形的相控阵雷达不同的是，MIMO雷达几乎可发射任意波形。根据阵元间距，MIMO雷达可分为分置雷达以及共置雷达。相比传统的相控阵雷达，MIMO雷达几乎可以发射任意波形，即所谓的波形分集[2]。因而，MIMO雷达比相控阵雷达具有更多的优势，比如参数辨识性[2]，灵活的发射方向图设计[3]。

波形设计是MIMO雷达研究领域中非常重要的方向之一。在目标及环境先验知识确知条件下，文献[4]研究了通过设计发射波形改善基于MIMO的空时自适应处理（STAP）方法的检测性能[4]。文献[5]基于某些准则，比如最小化克拉美?罗界（CRB）的迹等，设计波形以提高场景先验知识完备场景下多个点目标的参数估計性能。文献[6]则考虑了杂波场景下发射波形和接收权联合优化以改善目标估计性能。显然，求解上述文献中波形设计问题需要某些参数的确切值，比如到达方向角（DOA）等。然而，这些参数在实际应用中须通过估计得到，因而不可避免存在误差。因此，最终的参数估计性能相应地会受到这些参数估计误差的影响，此现象已在文献[5?6]中通过数值试验验证。

针对上述问题，基于最小化最差情况下（worst?case）CRB迹准则，通过将场景初始参数估计误差凸集包含进波形优化，本文考虑了杂波场景下稳健波形优化问题以改善系统参数估计性能对参数初始估计误差的稳健性。在发射功率及参数估计不确定凸集约束下，首先推导了稳健波形优化问题，为求解此复杂非线性问题，本文提出一种基于对角加载（DL）[7]的迭代方法。所提方法首先基于哈达玛不等式（Hadamard′s Inequality）[8]将内层优化分解为多个独立子问题，然后基于DL将子问题转化为半定规划问题（SDP）[9]，接着通过线性化方法将外层优化转化为凸问题，进而此问题可获得高效求解。最后，初始问题的最优解可通过对迭代所得结果的最小二乘（LS）拟合得到。

1 问题描述

考虑收发阵元数分别为[Mt]，[Mr]且具有任意阵元间距的共置窄带MIMO雷达，其中第i个阵元发射的基带信号为[?i∈CL×1， i=1，2，…，Mt]， [L]为采样数，则所有基带信号为[Φ=[?1，?2，…，?Mt]T]。基于上述模型，接收阵列所得信号可表示为：

[Y=k=1Kβka（θk）bT（θk）Φ+ΗcΦ+W] （1）

式中：[βkKk=1] 为目标幅度；[θkKk=1]则为[K]个目标待估计参数；[a（θk）=[ej2πf0τ1（θk），ej2πf0τ2（θk），…，ej2πf0τMr（θk）]T，b（θk）=][[ej2πf0τ1（θk），ej2πf0τ2（θk），…，ej2πf0τMt（θk）]T]分别表示位于[θk]的目标的接收及发射导向矢量， [f0]为载波频率，[τm（θk）]为回波从位于[θk]的目标传播至第m个接收阵元的时间， [τn（θk）]则表示信号从第n个发射阵元传播至目标k的时间；[ΗcΦ]表示MIMO雷达接收的杂波信号，[Hc=i=1NCρ（θi）ac（θi）bTc（θi）]为杂波传输函数， [NC（NC?MtMr）]为感兴趣距离环内杂波块的数目， [ρ（θi）]为第i个杂波块的反射系数，[ac（θi）]，[bc（θi）]分别表示位于[θi]杂波块的接收发射导向矢量；[W]为干扰加噪声项，类似于文献[5]，其每一列可假设为服从零均值，方差矩阵为[P]且未知的独立同分布循环对称复高斯分布。

基于式（1），待估计参数[θ=[θ1，θ2，…，θK]T]及[βkKk=1]可表示如下（具体推导参见文献[6]）：

[C=12Re（F11）Re（F12）-Im（F12）ReT（F12）Re（F22）-Im（F22）-ImT（F12）-ImT（F22）Re（F22）-1] （2）

式中：[Re?]，[Im?]分别为复数的实部及虚部。

[F11ij=β*iβjhHi（I+（RΦ?P-1）RHc）-1（RΦ?P-1）hj] （3）

[F12ij=β*ihHi（I+（RΦ?P-1）RHc）-1（RΦ?P-1）hj] （4）

[F22ij=hHi（I+（RΦ?P-1）RHc）-1（RΦ?P-1）hj] （5）

式中：[I]表示单位矩阵；[RΦ=Φ*ΦT]；[hk=b（θk）?a（θk）]；[hk=][?（b（θk）?a（θk））?θk， k=1，2，…，K；RHc=Evec（Hc）vecH（Hc）=][BcΞBHc?0]，其中，[E?]为期望算子，[vec?]为矢量算子，[Bc=b1，b2，…，bNC，bi=bc（θi）?ac（θi）， i=1，2，…，NC，Ξ=][diagσ21，σ22，…，σ2NC，] [σ2i=Eρ（θi）ρ*（θi）]。

由式（2）～式（5）可知，CRB为关于[θ]，[βkKk=1]，[Hc]的函数。实际应用中，这些参数须通过估计得到，因而不可避免存在误差。因此，基于这些参数计算得到的CRB进行波形优化，会对初始参数估计误差比较敏感，进而影响到系统参数估计性能，此现象已有文献[5]中的数值试验验证。

本文只考虑目标先验信息不确知条件下的稳健波形优化问题。设目标信道矩阵及微分可分别建模如下：

[hk=hk+δk， hk=hk+δk] （6）

式中：[hk，][hk]分别表示第[k]个目标信道矢量的真实值及其对应估计值；[hk，][hk]分别表示[hk]的微分真实值及其对应的估计值；[δk]为[hk]的估计误差，其属于凸集：[U1=δkδkF≤ζk，k=1，2，…，K ]，[δk]为[hk]的估计误差，属于凸集：[U2=δkδkF≤σk，k=1，2，…，K]。

基于以上討论，在发射功率及关于目标先验知识不确知模型约束下，通过最小化最差情况下CRB以改善系统最差估计性能的稳健波形优化问题可表述如下：

[minRΦ maxδkKk=1， δkKk=1 tr（C）s.t. δk∈U1， δk∈U2 tr（RΦ）=LP， RΦ?0] （7）

由式（2）～式（6）知，优化问题为复杂的非线性问题，非常难以求解。

2 基于DL的迭代方法

为求解上述非线性优化问题，本文提出一种新的基于DL[7]的迭代方法。首先，考虑式（7）的内层优化。基于以下引理对内层优化进行简化：

引理（哈达玛不等式）[8]：假设[M]为[N×N]维半正定厄米特矩阵，则如下不等式：

[tr（M-1）≥i=1N1mii] （8）

成立，且等式成立当且只当[M]为对角阵。基于此引理，式（7）中内层优化可简化为：

[maxδkKk=1， δkKk=1 k=1K12Re（F）kks.t. δk∈U1， δk∈U2] （9）

由式（2）～式（5）可知，式（9）可重写为：

[maxδkKk=1， δkKk=1k=1K1β*khHkRtemphkβk+hHkRtemphks.t. δk∈U1， δk∈U2] （10）

式中：[Rtemp=（I+（RΦ?P-1）RHc）-1（RΦ?P-1）]，删除[Re?]，是由于相加各项均为实数。

由式（10）可知，分母中第k项只依赖于[δk，][δk]。因此，优化问题式（10）可看做在对应约束下最大化每个相加项，换言之，此问题可分解为多个相互独立的子问题：

[maxδkKk=1， δkKk=11β*khHkRtemphkβk+hHkRtemphks.t. δkF≤σk， δkF≤ζk， k=1，2，…，K] （11）

由于[P?0， RΦ?0， RHc?0，]则[（RΦ?P-1）RHc]為不定矩阵[8]，因此式（11）难以求解。为求解此问题，将DL方法应用于[RΦ]，则：

[RΦ=RΦ+εI?0] （12）

式中：[ε?λmax（RΦ）]为加载因子，[λmax（?）]取矩阵最大特征值。本文通过数值实验选择[ε=λmax（RΦ）1 000]。将式（11）中[RΦ]替换为[RΦ]，则可得[I+（RΦ?P-1）RHc-1]

[（RΦ?P-1）?0]。

明显地，[β*khHk][（I+（RΦ?P-1）RHc）-1（RΦ?P-1）?][hkβk，] [hHk][（I+（RΦ?P-1）RHc）-1（RΦ?P-1）hk]分别为关于[δk，][δk]的凸函数[9]。此外，由式（11）可知，[δk]所属凸集[δkKk=1]与[δk]所属凸集[δkKk=1]相互独立，则式（11）可以分解为如下两个独立优化问题：

[minδk β*khHkRtemphkβks.t. δkF≤σk] （13）

[minδk hHkRtemphks.t. δkF≤ζk] （14）

式中[Rtemp=（I+（RΦ?P-1）RHc）-1（RΦ?P-1）] 。

定理（Schur补）[8]：设[Z=ABHBC]为厄米特阵且[C?0，]则[Z?0]成立，当且仅当[ΔC?0，][ΔC=A-BHC-1B]为[Z ]Schur补。

基于上述定理，式（13），式（14）可分别转化为如下SDP问题：

[mint，δk ts.t. σ2kδHkδkI?0tβ*khHkβkhkR-1Φ?P+RHc?0] （15）

[mint，δk ts.t. ζ2kδHkδkI?0thHkhkR-1Φ?P+RHc?0] （16）

式中[t]为辅助变量。将从式（15），式（16）得到的[δkKk=1]及[δkKk=1]代入式（7），考虑外层优化。

基于式（12），下述命题可将式（7）中关于[RΦ]的非线性问题线性化，且将相应约束转化为线性矩阵不等式形式。

命题： 基于相关矩阵计算，式（7）中关于外层优化的约束可重新写为如下形式：

[αI?D?βID=（I+（RΦ?P-1）RHc）-1（RΦ?P-1）] （17）

基于上述定理以及命题，类似于内层优化，外层优化可等价为如下SDP：

[minX，D tr（X）s.t. αI?D?βI， XIIF?0] （18）

式中[X]为辅助优化变量。

求解式（18）得到[D]后，[RΦ]可通过对LS拟合得到，即：

[RΦ=argminRΦ（D-1-RHc）-1-RΦ?P-1Fs.t. tr（RΦ）=LP RΦ?0 ] （19）

类似地，式（19）可等价为如下SDP：

[minRΦ， t ts.t. tvecH（Dtemp）vec（Dtemp）I?0 tr（RΦ）=LP， RΦ?0 ] （20）

式中：[Dtemp=（D-1-RHc）-1-RΦ?P-1。]式（15），式（16），式（18），式（20）可由文献[10]的CVX工具箱高效求解。

基于以上讨论，类似于文献[11]中算法3，本文提出一种基于DL的迭代算法优化发射波形以最小化最差情况下CRB，从而改善MIMO雷达参数估计性能对目标参数估计误差的稳健性，此算法描述如下：

算法：给定不确定凸集[U1，][U2]以及WCM的初始值，[RΦ]以及参数估计误差可经过以下步骤迭代求得：

1） 求解式（15），式（16），得到最优[δkKk=1]及[δkKk=1]；

2） 求解式（18）得到[D]；

3） 重复以上步骤，直到最差情况下CRB变化不再明显为止。

最后，[RΦ]可通过求解得到。

3 仿真结果及分析

本节通过将所提方法与非稳健方法[6]以及非相关波形对比以验证所提方法有效性，此有效性可通过以下两方面验证：最差情况下参数估计性能的改善程度以及所提方法的稳健性。文中所用雷达发射接收阵元数皆为3，发射接收阵列相邻阵元间距皆为半波长，记为MIMO雷达1，发射接收相邻阵元间距分别为1.5，0.5倍波长，记为MIMO雷达2。杂波块数[NC=10 000，]杂噪比（CNR）为30 dB。假设场景中存在具有单位幅度的目标位于[20°]，且干扰位于[-5°，]干噪比（JNR）为60 dB。此外，采样数[L=256]。另外，如前所述，CRB的计算需要某些参数的估计值，这些参数估计值在应用中可由许多方法得到[12]。

本节假设仅目标角度估计存在误差。假设初始角度估计误差位于不确定集[Δθ=[-3°，3°]]，则初始角度估计为[θ=[17°，23°]]。经过计算，可得到MIMO雷达1场景下[ζ=5.438 2， σ=7.659 3]，MIMO雷达2场景下[ζ=][27.632 9]，[σ=29.675 4]。

首先所提方法可以得到阵列信噪比（ASNR，定义为[PMtMrσ2W]）为10 dB条件下最优发射波束方向图，如图1所示。由图1可知，所提方法在目标所在位置周围有最大增益，这说明雷达发射功率集中于关于参数估计误差不确定集最差情况下CRB的位置，因而最差情况下参数估计精度可得到改善。此外，可以看到图1b）中存在栅瓣，这是由于MIMO雷达2的稀疏发射阵列所致[5]。

为验证最差情况下参数估计性能的改善程度，以目标角度确知条件下非穩健方法所得CRB为基准，所提方法以及非相关波形得到的最差情况下CRB随ASNR的变化如图2所示。明显地，所得不确定凸集上最差情况下CRB皆随ASNR增加而减小。并且，相比于非相关波形，所提方法可显著降低最差情况下CRB，这是由于所提方法得到的波形将发射功率集中于凸不确定集，而非相关波形则全向发射。此外，可以看到，所提方法得到的CRB与基准CRB之间的差距比较小，这意味着所提方法可有效改善最差情况下参数估计性能。另外，比较图2a）和图2b），可知MIMO雷达2得到的最差情况下CRB要优于雷达1，这是由于前者形成的虚拟阵列长度大于后者[2]。

最后，为验证所提算法的稳健性，所提算法、非稳健方法及不相关波形所得最差情况下CRB平均值随ASNR变化如图3所示。

由图3可知，相比非稳健方法以及不相关波形，所提方法有最小的最差情况下CRB，换言之，所提方法相对于初始参数估计误差有较好的稳健性。

4 结 论

在目标先验知识非完备场景下，本文研究了杂波条件下稳健波形优化问题以改善共置MIMO雷达最差情况下参数估计性能。基于初始参数估计误差模型以及发射功率约束，首先建立了稳健波形优化问题的表述。为求解所得复杂非线性优化问题，本文提出一种新的基于DL的迭代算法，此算法中每一次迭代都可转化为SDP问题，因此可以获得高效求解。初始问题的最优解可通过对迭代方法所得结果的LS拟合求得。数值仿真通过与非稳健方法以及非相关波形相比较，验证了所提方法的有效性。

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