硅压阻式压力传感器的高精度补偿算法及其实现

聂绍忠

(重庆四联测控技术有限公司，重庆 401121)

0 引言

随着科学技术的发展，各领域对压力测量精度的要求越来越高。硅压阻式压力传感器利用半导体材料的压阻效应，基于惠斯顿电桥测量方式对压力进行测量，在动态性能、体积、价格等方面有较强优势，广泛应用于汽车、医疗、航空航天、环保等领域。但由于半导体材料对温度的敏感性以及压敏电阻制造工艺的局限性，硅压阻式压力传感器普遍存在零点漂移、灵敏度漂移以及非线性等问题[1]。因此，需对该传感器进行有效补偿，以提高输出精度。目前，对于硅压阻式压力传感器的补偿主要有硬件补偿和软件补偿两大类。硬件补偿对于灵敏度漂移的抑制效果并不理想，且高精度硬件电路复杂，调试较为困难，不利于工程应用[2]。软件补偿以补偿算法为主，其结合相应的数学方法、计算机技术，对上述问题进行修正。实践表明，软件补偿对于提高传感器的输出精度有很好的效果[3]。

常用的软件补偿算法有查表法、插值法、曲面拟合法等[4]。本文在回顾上述基本软件补偿算法的基础上，设计了一种基于最小二乘法的曲面拟合补偿算法，并在Visual Basic平台上予以实现；通过补偿数据回代，对补偿算法进行了验证。

1 压力传感器软件补偿的基本方法

1.1 数学模型

研究硅压阻式压力传感器软件补偿，通常的做法是先建立一个补偿的数学模型；然后采用一定的方法进行标定，分析标定数据对数学模型的影响；最后求解数学模型，即一个反映传感器输入、输出量关系的特征方程。在实际工况下，压力传感器感知外部压力和环境温度等，激励内部产生若干个电压信号，并通过这些信号和特征方程计算出外部压力[5]。对于双参量体系下的硅压阻式压力传感器，其特征方程为：

(1)

式中：Pv为标定值；P为压力输出值；T为温度输出值；aij为多项式系数。

式(1)对应一个多项式曲面。曲面表现能力与系数项a，自变量的最高次数m、n相关[6]。根据求解精度和复杂程度，间接或直接求解式(1)的方法主要有查表法、线性插值法和曲面拟合法。

1.2 查表法

早期的工程技术人员受限于求解方法和低速处理器，常常采用查表法。查表法扩展了压力传感器的标定方式，即对于可能的工作环境和工作区间内的输入、输出进行事先遍历，并按一定顺序将这些标定值保存在二维或多维表格内。压力传感器在实际工况下，其任意输出均可在事先准备好的表格中找到一个对应的输入。

查表法的关键是查找表的编制。对于单变量体系(P-Pv)，应绘制二维表格；对于多变量体系(同时考虑T)，应绘制三维或更高维度表格。

由此可知，查表法易于实现，但工作量非常大，对存储器空间要求高，不利于批量作业[7]；标定的过程非常漫长，如果减少标定点，则精度将随之下降。

1.3 插值法

针对查表法所存在的问题，插值法是一个较好的解决办法。插值法是一种重要的函数逼近方法。在工程实践中，往往很难直接写出函数f(x)表达式，只能通过采样、试验的方法获取函数的若干个值或导数值[8]。例如给定了函数f(x)在[a,b]上互异的(n+1)个点的值f(x)(i=0,1,…,n)，插值法可根据这些值，寻求一个函数φ(x)去逼近f(x)，且φ(x)在xi处与f(x)相等。

1.3.1 线性插值法

插值法中较常用的是线性插值法。给定f(x)在两个互异的点(x0，y0)、(x1，y1)的值，用一个线性函数φ(x)=ax+b近似代替f(x)，使f(x)的线性插值函数为：

该方法可应用于单变量体系下的压力传感器。在单变量体系下，压力传感器的标定值Pv与压力输出值P的传感器特性曲线如图1所示。

图1 传感器特性曲线Fig.1 The characteristic curve of sensor

将P坐标轴分成若干段，则对每个端点Pk，必有相应的Pvk。把所有(Pk，Pvk)数据做成二维表格并固化入存储器。在实际应用中，压力传感器的压力输出值P必然在P坐标轴某一段[Pk，Pk+1)上有定义，即Pk≤P

(2)

线性插值法可以对单变量体系下的压力传感器进行线性度补偿，但无法对温度变化造成的零点漂移和灵敏度漂移进行温度补偿。此时，可以采用双线性插值的方法，引入温度输出值T。

1.3.2 双线性插值

双线性插值基本思路是在两个变量方向分别进行线性插值。故以双变量体系下(P，T)的压力传感器为例，传感器双线性插值示意图如图2所示。图2中：Qk(Pk，Tk，Pvk)、Qk+1(Pk+1，Tk+1，Pvk+1)为压力传感器在环境温度为K时的标定点；Qj(Pj，Tj，Pvj)、Qj+1(Pj+1，Tj+1，Pvj+1)为压力传感器在环境温度为J时的标定点；点O(Po，To，Pvo)为测试点(Po和To已知)。

图2 传感器双线性插值示意图Fig.2 The bilinear interpolation of sensor

插值公式推导的步骤如下。

①沿Pk、Pk+1方向进行线性插值：

②沿Pj、Pj+1方向进行线性插值：

③一般情况下，Tk和Tk+1、Tj和Tj+1有着细微的差别。为了便于插值，可对Tk和Tk+1、Tj和Tj+1作均值处理，重新记为Tk、Tj；沿Tk、Tj方向进行线性插值，最终完成一次双线性插值，求得Pvo。

(3)

通过前述内容，可以总结出对于多变量体系压力传感器的插值步骤为：当前传感器输出获取→根据传感器输出选取插值节点值→计算插值基函数值→用循环嵌套计算插值函数值。

双线性插值法的优势在于可直接利用原始测试数据，简单直观，计算量较小，具有较高精度，且适用于多变量场合。但其缺点也十分明显，主要有如下几点。

①较查表法而言，双线性插值法所需的存储空间虽大大减少，但其仍处在一个非常高的水平。

②由于双线性插值法的特性，补偿算法整体稳定性较差[9]。在标定过程中，如果出现了因压力泄漏、温度失准、电路故障等情况造成的数据出错或失准，将会影响插值精度，且难以察觉。

③在推导式(3)时，采用了取均值的处理方式来保证插值的进行。但这样会引入系统误差，最终影响插值精度。

2 基于最小二乘法的曲面拟合补偿算法

最小二乘法是一项古老的数学优化技术，主要用于参数估计。它使数学模型在误差平方和最小的情况下拟合试验数据。早在19世纪初，清楚、简明地论述最小二乘法的文章便被发表。经过200多年的不断发展和完善，特别是进入信息时代以来，借助计算机的强大运算能力，最小二乘法在工程技术的各领域、各学科得到了广泛的应用。

对于形如式(1)的二元高次多项式方程，根据最小二乘法的思想，可定义函数Q为误差平方和、φij(P,T)=PiTj、N为采样数据样本总数，则：

(4)

根据多元函数极值的必要条件：

(Pp,Tp)]φkl(Pp,Tp)=0

(5)

展开后，式(5)表示为内积形式：

(6)

式中：0≤k≤m；0≤l≤n。

式(6)可表达为矩阵的形式，即正规方程[10]：

(7)

①式(7)中，左边内积矩阵非奇异。

求解式(7)，可得f(x)在函数类Φm中最小二乘逼近函数y(x)的表达式：

拟合余项为：

通过求解式(7)的线性方程组，确定曲面系数矩阵a，即式(1)的形式可确定。同时，在式(7)的基础上，可令若干个交叉项阶次过高的aij为0，使式(1)变为缺项多项式，以避免过多的系数项。

3 算法软件设计与实现

算法软件流程为：①读取算法配置文件；②读取采样数据文件；③建立正规方程；④求解正规方程；⑤校验精度；⑥输出结果。

通过第二节的讨论，明确了补偿算法的原理以及求解目标函数的方法。接下来以Visual Basic为软件平台，设计、实现补偿算法，验证算法的有效性，并将算法应用于工程实践中。

①算法配置文件主要包括：各项aij的序列、温度点数量、每个温度点下压力点数量；采样数据文件记录补偿过程中各Pv、P、T的值。同时，需对采样数据进行数据标准化处理，将数据控制在一定的范围内，以提升后续计算速度。

②正规方程利用相应的内积计算模块，按照式(4)构建。定义双精度数据类型数组，存储正规方程中各内积构成的元素。

③正规方程的求解，实质是线性方程组求解的问题。本算法采用逐次超松弛迭代法(successive over relaxation,SOR)求解正规方程。在迭代计算模块中，构建四个双精度数据类型数组，分别存储迭代初值、迭代值、加速项以及常速项。在迭代计算模块中，需设置迭代次数上限。当迭代次数超过上限后仍无法满足迭代精度，则迭代过程终止并报告错误。

4 试验结果与误差分析

试验所选压力传感器的量程为0～40 MPa。在高低温试验箱内部，将压力传感器装夹在与标定压力源连通的夹具上。在不同的温度点下，利用标准压力源(Fluke公司7350压力控制器)，对压力传感器输入标定压力(从0%～100%量程取若干个Pv)，读取、记录传感器输出的若干组Pv、P和T。

试验中，选取测试温度点为-40 ℃、-20 ℃、0 ℃、+20 ℃、+40 ℃、+60 ℃、+80 ℃。在各温度点分别施加9档压力(以满量程的百分比形式表示)，即0%、12.5%、25%、37.5%、50%、62.5%、75%、87.5%、100%。在每个“温度点-输入压力”下读取标定压力Pv、压力传感器电压输出值P、温度传感器电压输出值T，如表1所示。

表1 补偿采样数据Tab.1 Compensation sampling data

在利用算法软件计算前，按照式(1)配置m=4、n=7，构建缺项多项式，共21项；7个温度点，每个温度点下9个压力点；所有P、T采样数据放大20倍作标准化处理；SOR迭代法ω=1.1，迭代精度Acc=10-8[11]。

配置完成后，算法软件将自动开始计算，输出多项式系数项如表2所示。

表2 多项式系数项Tab.2 Polynomial coefficient terms

将表1、表2数据代入式(1)，得到如表3所示的回代压力值。

表3 回代压力值Tab.3 Back substituted pressures

5 结束语

本文利用最小二乘法的基本定义，将曲线拟合法转化为多项式系数项可预置的曲面拟合法，提出了一种基于最小二乘法的曲面拟合补偿算法。该补偿算法可有效补偿硅压阻式压力传感器的零点、灵敏度和线性度，准确地建立表达传感器输入-输出关系的特征方程。试验结果表明，该补偿算法对硅压阻式压力传感器的补偿效果十分明显，极大地提高了该类传感器在-40～+80 ℃范围内的输出精度；同时，该算法的设计和实现仅需利用较为基础的编程语言，可操作性强，有着良好的工程应用价值。

参考文献:

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