相关系数在松北地区表层建模中的应用分析

引言

精确的表层速度结构数据是进行地震勘探激发井深设计、保证激发效果的基础。诸多学者依托点上的表层资料进行了激发技术研究，如李天树、刘艾奇、王永卓等通过对双井微测井资料的运动学和波动力学特征分析，确定了利用虚反射界面准确地选择激发井深度的方法[1-3]。张付生等从激发的虚反射效应、激发岩性与炸药类型的耦合关系以及子波品质等方面，研究不同地表条件下的激发因素，探讨了最佳激发因素的选择途径[4]。张光德等针对柴达木盆地三湖地区近地表结构复杂的特点，提出了结合微测井初至时间、波形、能量及Q值变化，进行表层结构精细解释的三步分层法，制定了新的激发井深设计原则，解决了该区的激发难题[5]。崔汝国等针对济阳拗陷的黏土介质，对影响激发效果的因素进行了系统分析和理论探讨，认为在泥质黏土中激发，有利于激发出较高能量的地震波[6]。

鉴于勘探成本的原因，实际表层调查点的密度为0.5个/km（二维）和1个/km2（三维），其余激发点按照数学方法进行内插，取得全区各个物理点的表层速度结构的分界面。如何保证内插数据的准确、合理性是保证全区激发井深设计有效的关键。进行表层速度结构分界面插值，有多种数学插值方法可以优选利用，这些方法广泛应用于地质建模过程中。游明亮等对克里金插值法、反距离加权插值法、最小曲率插值法和线性插值法进行了对比研究[7]，认为克里金插值法是比较实用的方法；叶勇等认为对于表层建模[8]，简单平均法、反距离加权、趋势面法、有限分析等是解决插值问题的强有力工具，但这些方法计算简单，但未考虑变量的空间变化趋势。尤其是在地形起伏比较大，控制点稀少的情况下，不了解表层速度结构的变化规律，起伏段无控制点时，表层厚度的插值存在多解性；同时，当地形低洼处无控制点时，不考虑地形而只单纯采用数学方法内插，会出现两个层面相互交叉的现象，因此，应研究建立表层低降速带界面和地表高程之间的关系，提高建模的准确合理性。潘宏勋等将微测井的分布情况与测区地形变化相结合[9]，提出了距离比、积分绝对值比等多参数微测井资料评价方法，评价微测井密度对表层建模的影响。叶勇等研究出了起伏地表微测井离散数据地质统计三维建模方法[8]。李卫忠等提出近地表相和近地表相分析的概念[10]，利用可控震源地震采集、近地表调查等数据，进行了近地表黏弹性参数反演，并建立了高精度的极浅近地表层模型。

应用相关系数可建立表层界面与地表高程之间的关系，王彦仓等基于地理信息，结合表层调查控制点的成果[11]，对地表进行精细建模，取得了较好的效果；葛利华等根据井中微测井结果及层间相关系数[12]，建立了该测线的表层模型，两者均对相关系数的原理进行了阐述，但没有深入分析。于宝华等对相关系数与控制点密度的关系进行了分析[13]，认为只要控制点是离散点，就会造成相关系数的误差，影响表层模型精度，但对相关系数如何取值没有进行深入研究。

本文以松北地区二维地震项目高密微测井调查为依据，研究了影响相关系数取值的各种因素，结合松北地区表层沉积规律，总结了松北地区相关系数的取值方法，提高了表层建模精度，改善了单炮的激发效果。

1 相关系数原理

1.1 相关系数原理

数量分类学中，相关系数用来表示两个离散型随机变量间相似程度的指标，用K表示，其值在0～1，即0≤K≤1。对于表层结构中的两个不同界面，K越趋近1，则表示两个界面变化趋势越相似，反之，则表示两个界面之间相关性越低。

由于近代沉积的连续性和继承性，地表与界面、界面与界面间有一定相关性，利用这种相关性结合表层调查控制点进行内插，可建立表层速度结构模型。图1为利用相关系数进行内插的原理。

图1 利用相关系数内插表层厚度示意图Fig.1 The schematic diagram of the calculation of the surface thickness using correlation coefficient

如图1所示，在已知A、B两点的高程、表层厚度的条件下，求取A和B点之间某一点G点的表层厚度，需要知道G点的高程数据，首先利用线性插值法求出G点的内插厚度（没有考虑地形起伏），然后，利用地表与表层界面相关系数求出需要增加或减小的厚度，以上两者相加得到G点的最终表层厚度，其公式为

式中：hG—G点的低速层厚度，m；

ZAB—由A和B两点的厚度内插得到的G点厚度，m；

EG—G点的地表高程，m；

EC—C点的内插高程，m；

K—地表与高速层顶界（降速层顶界）的相关系数，无因次。

1.2 相关系数计算方法

求取准确的相关系数是取得精确表层内插值的关键，求取方法采取定性和定量两种方式，主要有以下几种方法。

1.2.1 人工经验取值法

人工经验取值法依靠地形和厚度的相对关系定性判断相关系数的大小，该方法对表层特征明显的地区应用效果好，如具有稳定表层界面的塔里木盆地沙漠区，潜水面稳定，其相关系数为0。

1.2.2 分布特征统计分析法

分布特征统计分析法也是一种定性分析方法，有2种方式。

一是频率统计法，可以用表层厚度值的统计参数值定性地衡量高速层界面、降速层界面与地形的相似程度，达到量化相关系数的目的，如标准方差、协方差等参数。

标准方差越大，说明离散程度越大，此时可用下式进行计算

式中：Dh—低降速带厚度的标准方差，m；

hi—控制点的低降速带厚度，m；

E—取低降速带厚度的数学期望。

协方差越大，相关程度越高，此时可用下式进行计算

式中：地面高程与表层界面高程的协方差；

Hs,i-地面高程，m；

Hb,i-表层界面高程，m。

但这两种数值均为有量纲的物理量，不能用于式（1）的计算[14]。

二是相关散布图法，通过图示法表示地表高程和表层界面高程相关性及联系的模式，当相关散布图分布呈线性分布时，相关性好；分布呈球形（或饼形）时，相关性差[14]。

1.2.3 公式计算法

公式计算法是一种定量分析方法，具体原理为：假设表层结构有m个界面（包括地表），每一个界面有n个控制点，每个控制点具有一个埋深（H），则原始数据可用相关矩阵表示为[14]

矩阵中的元素（i=1，2，···，m；j=1，2，···，n）为第i个界面的第j个控制点高程值，其中：m为表层速度界面的个数；n为每个界面控制点的个数。

利用以上原始数据，采用综合相关系数来衡量两个界面之间的相关程度[14-15]，可以从两个方面来衡量：一方面是衡量两个界面高程值之间的相关系数K1，K1越大，表示地形与低速带底界的相关性越强。用下式进行计算

式中：Hl,j-低速带底界面高程，m。

另一方面是从另一条途径衡量两个界面的相关程度，计算表层低降速带厚度值与地表高程间的相关系数K2，其值指示是否存在高处厚、低处薄的规律，K2越大，表示地形与低速带底界的相关性越差。用下式进行计算[15]

式中：h1—低降速带厚度平均值，m。

综上所述，人工经验取值法受人为因素影响大，分布特征统计法不能取得相关系数的数值，两种均为定性的方法，而公式法可以取得较准确的相关系数值。

2 松北地区表层相关系数分析

2.1 适用性分析

相关系数的应用条件和第四系沉积环境有关：一是地表要有起伏性；二是表层沉积要为连续沉积，具有继承性[16，18]。

松北地区地形以高岗丘陵为主，高差10～40 m，地表起伏。从沉积环境来分析，整个松辽平原在更新世—中更新世时整体为一个古大湖，第四系属于湖积沉积，在区域上沉积稳定，在一定范围内横向上连续稳定，变化较小。该区地下潜水层为第四系上更新统黄土状粉质黏土微裂隙孔隙潜水，主要是受大气降水影响，在岩性相同条件下，潜水面深度随地形变化不大。由于后期的流水切割、侵蚀，形成局部的起伏地形，在一定程度上破坏了原来的沉积结构，造成局部表层厚度和地形的相关性减弱。因此，呈现表层整体相关性强，局部起伏区域相关性低的特征。

2.2 表层数据相关性分析

松北地区表层调查方法以微测井调查方式为主，按照0.5口/km的密度均匀布设，最终取得4条测线170个点的调查数据。分测线提取各个控制点的低降速带总厚度、地表高程和高速顶界面高程，统计出各测线的均值、中值众数和极差，利用式（2）、式（3）、式（5）和式（6）分别计算出标准差、协方差、地表与高速顶高程及地表高程与厚度的相关系数，分析数据见表1。

表1 松北地区二维测线表层厚度数据统计分析表Tab.1 Statistical analysis of surface layer thickness of 2D survey lines in Songbei Area

从统计数据分析（表1）可以看出，极差波动幅度大，ml-14-ew80测线标准差值最大，且协方差也最大，对相关性的评价出现矛盾，地表高程和高速顶高程的相关系数均大于0.900，为高度相关，和沉积特征分析不符。同时，两种相关系数的计算结果存在矛盾，不同测线的地表高程与表层厚度的相关系数差值较大。存在这种差异的原因是什么？影响因素有哪些？这都需要进行系统分析。由于表层数据包含了不同的地形条件，整体分析针对性不强；同时，调查点的点距大、点位分散，数据分析的冗余度不够，需要通过较高密度的调查点进行影响因素分析。

2.3 基于高密度微测井的影响因素分析

以典型的高岗丘陵区为目标区，选取两段不同地形进行高密度微测井调查，长度各为2 km，点密度为1口/（80 m）。第1段为起伏型，相对高差在20 m左右；第2段为平缓型，相对高差基本在10 m之内。两段各完成表层调查点26个，共计52个点，基于以上调查数据进行影响因素分析。

2.3.1 计算方法的影响

图2为利用频率统计法对表层总厚度统计分析的结果，第1段，表层厚度值统计的标准偏差为3.57，第2段为1.690，因此，第2段的相关性好。而从相关散布图来看（图3），第1段分布呈现线性，第2段为纺锤型，第2段相关性差，两种图示的定性评价方法存在矛盾。利用式（2）进行相关系数的定量计算，第1段相关系数0.660，第2段为0.703，两段相关系数取值比较接近，是否正确？

在两段各抽取具代表性的3个点的厚度成果，3个点间距800 m，采用不同的相关系数进行厚度内插，计算内插值和实际调查值的误差。差值曲线分析（图4），第1段采用0.600～0.700的相关系数总体误差最小，和实际调查值接近，从平均误差值计算可知（图5），相关系数达到0.600～0.700的均差值最小；第2段相关系数为0.900的厚度误差最小。和计算值相比，第1段相关系数值接近，而第2段相关系数值实际验证值和计算值差异较大。

图2 高密微测井表层厚度统计直方图Fig.2 The histogram of surface thickness with high density micro logging

图3 高密微测井表层相关散布图Fig.3 The scatter diagram of surface thickness with high density micro logging

图4 不同相关系数厚度插值与实际值的差值曲线Fig.4 The interpolation of the thickness of the correlation coefficient and the actual value with different cross-correlation

通过以上分析可以看出，无论是相关分布图法，还是数学公式计算法基于变量进行统计分析，当即地形高程变化大时，计算结果符合实际，当地形高程变化范围较小时，就不能精确地反映相关程度。

因此，需要对相关系数计算公式进行优化，改变衡量标准，将原来不同界面高程的相关性转变为衡量表层厚度值的浮动程度，新公式为

式中：所选段的平均厚度，m。

利用式（7）对两个高密度微测井段的相关系数重新计算，如表2所示，新计算值和实际验证值相近，因此，用厚度值的变化衡量相关性更精确。

2.3.2 地形起伏程度的影响

两段高密微测井的相关系数计算结果显示，在平缓区域，表层厚度相对比较稳定，相关系数高；在地形起伏较大区域，存在高处较厚、低处变薄的情况，相关系数降低，以上两段区域相对高差和表层厚度值接近。表3为在表层厚度值不变时，采用不同相对高差进行相关系数的计算结果。

图5 不同相关系数内插值与实际值误差平均值Fig.5 The average value of the error of interpolation and the actual value in the thickness with different cross-correlation

表2 新老相关系数公式计算结果对比Tab.2 Comparison of new and old correlation coefficient formula

从表3可以看出，高差远大于表层厚度时，相关系数较大，说明地形高差和表层厚度的差越大，相关系数越大，也就不能准确地反映表层厚度的变化情况，因此，在相关系数的计算过程中，应根据高程变化情况分段进行计算，选择合适的统计半径。

2.3.3 统计半径的影响

相关系数的准确、合理性也和统计范围有关。对控制点密度为0.5个/km的测线段采用不同统计半径计算，统计半径为4 km时，相关系数值为0.600～0.990；统计半径为10 km时，相关系数值为0.950～0.990。分别进行表层厚度内插计算，差异主要体现起伏剧烈区域，最大误差达到12 m，平缓区域差异稍小。

采用拟合曲线对比进行分析。图6a是10 km范围内地表高程和控制点数据，其中，蓝色曲线为地表高程线，红色点为表层控制点高速顶界高程，分别对其进行拟合，求取拟合函数。可以看出，其拟合多项式均为6次，两者变化非常相近，但两个多项式的相关指数存在差异，高速层顶界高程较地表高程的拟合程度更高。图6b为4 km范围内地表高程、控制点数据及拟合曲线和拟合函数，从图6b可以看出，二者的拟合函数接近，相关指数均达到0.900以上，拟合程度高，但两条拟合曲线的形态出现差异，相关性变差。因此，当采用大的统计半径时（图6a），反映的是总体相关性，地形和高速顶高程的拟合曲线十分接近，因此相关性好，但对于局部插值计算误差要大；而采用适当的统计半径有利于反映局部的表层厚度变化特征，提高表层内插的精确性。

2.3.4 控制点密度的影响

当统计半径一定时，增加控制点密度可提高该段相似系数的精度。根据两段高密微测井的统计结果，在采用合适相关系数的前提下，平缓段采用800 m左右的控制点间距可保证表层厚度的内插精度；而在起伏地形，控制点间距要在200 m才能保证计算结果差异不大。该区表层控制点的布设要结合地形情况灵活布设，地形复杂区适当加密，平缓区适当抽稀。

图6 高速层顶界高程与地表高程的相关性分析Fig.6 The correlation analysis of the elevation of bottom of LVL and surface

2.3.5 异常点的影响

3个控制点的间距800 m，选择两组进行对比，两组数据差异在C点，第2组的C点是一个异常点（在低处厚度突然增加）。相关系数的计算结果显示（表4）：第1组选择点位合理，其计算结果和相关系数最佳值基本相同（最佳值为0.680）；而第2组由于C点厚度值增加，3个点的厚度变化幅度变小，相关系数提高。

表4 异常点对相关系数的影响Tab.4 The influence of abnormal points on correlation coefficient

因此，在相关系数计算时，要验证参与计算表层控制点数据的合理性和有效性，对异常点位进行正确处理，保证相关系数精确。

根据松北地区表层沉积规律和相关系数影响因素的分析，该区相关系数的取值应遵循以下原则：

（1）合理布点摒弃均匀布点的传统方式，根据地形特征布设控制点，利于统计计算数据准确；

（2）综合分析根据地形、数据变化情况采用多种计算方法对比，做到取值合理；

（3）分段计算根据地形高低、起伏剧烈程度及沉积类型分段计算相关系数值；

（4）精选点位基于第四系沉积规律，分析控制点成果的代表性，避免突变点影响。

3 应用效果

通过对松北地区表层沉积规律研究和表层数据的统计分析，发现松北地区表层结构呈现出表层速度界面高程随地形增高而增高的趋势，整体相似系数在0.600以上。在平缓区表层厚度比较稳定，相似系数在0.900以上；在一般起伏区，存在高处表层厚度大，低处厚度薄得特征，但也呈现随地形起伏而起伏的形态，只是起伏程度较小，相似系数在0.600以上；在起伏剧烈区，相对高差达到表层总厚度的2倍以上，相似系数高，对局部厚度的变化不能有效控制，对总体厚度有一定的控制作用。

根据以上认识，求取了不同测线段的相关系数值，改变了起始阶段认为该区高速层顶界和地形高程变化无关的错误认识，修正了相关系数，使表层厚度的内插值更加合理、精确，建立了精确的表层厚度模型。图7是1080线表层速度界面模型修正前后对比，图7a在全测线采用了相同的相关系数（0.500），图7b为根据研究成果对测线进行分段求取相关系数后建立的表层模型，第1段和第5段地形起伏相对剧烈，高差远大于表层厚度，相关系数在0.900左右；第3段为一般起伏区，地形高差接近表层总厚度，相关系数在0.600～0.800；第4段相对比较平缓，相关系数为0.850；而第2段地形平坦，修正前后基本没有变化。

图7 1080测线表层厚度模型Fig.7 The model of surface thickness of Line 1080

为验证应用效果，在以上所划分的5个区域内，对比了根据模型修正前后设计井深的单炮（图8）。

图8 单炮对比（30～60 Hz）Fig.8 Comparison of shot gather（30 ～ 60 Hz）

从图8可以看出，第1段修正后的单炮虽然井深变浅，但分频显示的地震同相轴更加清晰，第2段因修正前后差异不大，单炮品质差异也不大；第3段修正后井深变浅，但浅层地震反射更加清晰；第4段和第5段因相关系数提高、地处低凹处，井深适当增加，浅层和深层的有效地震反射得到明显改善。

图9是新采集和以往采集的成果剖面对比（两条测线相距2 km），可以看出，新采集剖面的成像效果和信噪比明显提高，地震反射同相轴连续清晰，波组特征明显，构造形态刻画清晰，尤其是断陷层的资料品质较以往有较大改善。

图9 新老剖面对比Fig.9 Comparison of the new section and the old one

4 结论

（1）松北地区第四系具有继承性和连续性，地表高程起伏程度适当，具备相关系数的应用条件，通过相关系数的合理应用，提高了建模精度，改善了单炮激发效果。

（2）计算和选择松北地区合理的相关系数，要综合统计分析、近地表沉积规律及地形高差等3个方面，采用合理布点、分段统计计算、去伪存真等方法的综合应用，有利于取得准确的相关系数，提高表层建模精度。

（3）松北地区表层结构呈现出表层速度界面高程随地形增高而增高的趋势，整体相似系数在0.600以上。平缓区表层厚度比较稳定，相似系数在0.900以上；一般起伏区，地形相对高差和表层总厚度接近时，相似系数在0.600以上；起伏剧烈区，相对高差达到表层总厚度的2倍以上，相似系数可达0.800～0.900，对局部厚度的变化不能有效控制，对总体厚度有一定的控制作用。

（4）通过相关系数的合理选取，可以提高总体精度，但具体到某一个点，仍可能存在较大误差，因此，其使用具有一定的局限性，需要进行人机交互以提高精度。

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