优化思想在解决烙饼问题教学中的渗透

钱雅琴

【摘 要】在解决烙饼问题过程中会有多种策略，而如何选择最优的策略就需要学生在学习过程中积极思考、动手实践、自主探索、合作交流，充分經历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等过程，找到最合理、最省时的方法，感受到“优化”这一重要数学思想方法的价值，使学生的认识不断地实现同化与顺应，促进学生的认知结构不断地重组与优化，学生的思维得到进步和发展。

【关键词】优化思想；烙饼问题；实践活动；同化与顺应

优化思想是数学思想的重要组成部分，也是培养学生数学素养的重要内容之一。烙饼问题的教学目标是让学生经历自主探究的过程，体验解决问题策略的多样性，并在寻求解决问题最优方案的过程中积累数学基本活动经验，感悟数学的优化思想。同时，在教学活动中要突出数学与生活的紧密联系，使学生初步形成从数学的角度发现、提出问题的能力以及分析、解决问题的能力，增强应用意识和实践能力。但是，烙饼问题对于学生来说其实并没有经验可言，而且“烙3张饼”的最优方法与实际生活中的做法完全不同，如何突破这一难点，让学生的认识实现同化与顺应，充分感受到数学优化思想方法呢？根据“数学教学是数学活动的教学”这一理念，笔者在教学中设计了很多实践活动，让学生在动手操作过程中经历优化过程，寻找解决问题的最优方案，提高学生解决问题的能力。

一、收集解决烙饼问题的数据信息，初步感知最优方案的关键因素

笔者在仔细研读教材后，发现一个共同点，即教材中对“烙饼问题”的数学信息描述过于提炼、集中而有意义，主动摒弃了一些多余信息，要解决的问题也是奔着“最优化”目标直接提出来的，学生只要套用最优方案就能顺利解决问题。这种以“学生学会做书本上的数学问题”为教学目标，以“追求标准答案”为价值取向的传统教学模式违背了新课程理念，不利于学生形成从数学的角度发现、提出问题的能力以及分析、解决问题的能力。为此，笔者对烙饼问题的引入做了一些改动。

笔者在课件出示“一家三口早餐吃烙饼”情境后，直接问学生：“从数学的角度，你认为必须收集哪些信息？”

生：如果每人1张饼，要烙3张饼；如果每人2张饼，要烙6张饼。

师：每人1张饼。

生：饼的反面要不要烙？

师：哪种烙法的饼更诱人？

生：两面都要烙！

生：我没有烙过饼，我想问烙一面要多长时间，既不会是生的又不会烤焦？（这个问题和烙饼时间的快慢有关，问得太好了）

师：每面大约3分钟。

这时很多人举手抢着说：“一共要几分钟？”

师：现在把这个任务交给你来完成，你需要几分钟？”

生：烙1张饼要6分钟，3张饼就要18分钟。

生：先2张饼一起烙用6分钟，再烙1张饼用6分钟，正好12分钟。

生：3张饼一起烙的话只要6分钟。

生：我知道2张饼一起烙的话也不用12分钟，只要9分钟。

同样是烙3张饼，为什么有人需要的时间长一些，有人需要的时间短一些？

生：我每次只烙1张饼，他们每次烙2张饼、3张饼，他们肯定比我快了！

生：对啊，想要速度快，就要往锅里多放几张饼！

让学生经历上面几番交流与分享，促使学生主动思考、收集解决烙饼问题的各方面数据，初步体验到影响烙饼速度的关键因素是每次最多烙几张饼，这一因素也是突破“烙3张饼最优方案”教学难点的关键因素。

二、体验解决烙饼问题策略的多样性，为寻找最优方案搭架子

接着上面的话题，为了保证比赛的公平公正，老师规定每次最多只能烙2张饼。此时板书可见右图。

赛前准备：用圆片表示饼，标出1、2、3号；自主选择实验单记录烙饼方案。

比赛要求：模拟计时开始后，学生用圆片摆一摆，并在实验单上写一写或者画一画，把自己的烙饼方案表达出来。

裁判口令：第一锅开始——3分钟到，第二锅开始——3分钟到，……

比赛结束后，比赛成绩自然分成两组，一组快，用时9分钟；一组慢，用时12分钟。比赛赢的一组学生在心理上获得极大满足，领悟到优化思想的优越性；比赛输的一组学生自然很沮丧，经历那落后的3分钟比实际的3分钟更加漫长，他们的心理触动并不亚于赢的同学，他们会在很长一段时间内自发地警醒自己这一次的疏忽，更加自主地探究新问题。

数学课标要求，学生只要能从解决问题的多种方案中寻找出最优的方案，初步体会优化思想的应用就可以了，并不要求学生一看到问题就能从优化的角度给出最优的方案。组织这次比赛，不仅很好地体现了新课程提出的“不同的人在数学上得到不同的发展”这一理念，而且寻找解决烙饼问题最优方案自然地成为了学生发自内心的内部需求。

三、分享方案，比较辨析，明确烙饼问题最优方案的关键

烙饼问题的教学难点在于如何让学生在具体问题的解决中感悟抽象的优化思想，如何让学生经历由具体到抽象的过程呢？笔者有目的地收集整理学生的实验单（如下图）：

先按上面布局展示学生的烙饼方案，请学生各自说一说自己的烙饼方法及所用时间。然后引导学生仔细观察不同表现手法的图表，比较左右两列烙饼方案，快慢双方派出学生代表组织辩论：为什么烙2张饼和烙1张饼都用6分钟？每次总烙几张饼最省时间？如何保证锅里一定有2张饼？哪种方法比较合理？通过烙饼方案的直观展示与学生之间的辩论分享，整理成表格如下：

[饼数 每面

时间 烙饼方法 烙饼

次数 最少

时间 1 3分钟 【① 】【① 】 2次 3×2=6

（分钟） 2 3分钟 【①②】【①②】 2次 3×2=6

（分钟） 3 3分钟 【①②】【②③】【③①】 3次 3×3=9

（分钟） ]

引导学生仔细观察表格内容，学生能够轻而易举地抽象概括出“只有保持锅里始终有2张饼，不让锅空出来，这样做最省时间”，而且要保证锅里总是有2张饼，就是不能把①②两张饼同时烙完，因为③号饼的正反面不可能同时放进一个锅里。最后引导学生一起抽象概括出烙3张饼的最优方案的数学模型：【①②】【②③】【③①】

教师指着上面的表达式，让学生说一说：“【 】”表示什么？数字①②③为什么都要出现两次？使学生进一步理解烙饼问题的最优方案及数学符号表示的意义，感受数学的简洁美。

四、变式活动，类比归纳，对优化思想的认识实现同化与顺应

渗透“优化思想”一定要让学生经历自主体验和反思顿悟的过程。虽然学生经历了自主探索和合作交流的过程，初步体验到了“优化思想”在解决问题中的优越地位，但是这种体验是肤浅的，“优化思想”在学生的思维中还是不稳定的。因此，笔者添加了情境：上午，爸爸要复印一份有3张A4纸的文件，两面都要复印，每面复印需要10秒，复印机一次最多能放2张A4纸，怎样安排最省时间？最少需要多少秒？让学生把复印方法最快的方案写在白纸上面。交流时展示两种简单的记录方案：

生1：【①②】【②③】【③①】

30×3=90（秒）

生2：

30×3=90（秒）

再一次请学生说一说“【 】”表示什么，数字①②③为什么都要出现两次？生2的方案中为什么没有标出编号？需要40秒复印完的学生为什么慢了？通过学生之间的反思与交流，组织学生体验在不同情境中抽象出相同的数学本质，进一步理解烙饼问题的最优方案，使学生对优化思想的认识不断地实现同化与顺应。

“去具体情境抽象数学本质”对于很多学生来讲有很大难度，但这恰恰是数学核心素养的内容之一，培养学生的数学抽象能力，一定要让学生经历足够数量的实践应用，活动经验积累到一定程度才能实现学生认知结构的重组与优化，从而使烙饼问题中的优化思想成为学生思想意识中固有的思维定势。为此，笔者再一次增添情境：中午，一家三口来到一家小餐馆，他们每人点了两个菜，假设两位厨师做每个菜的时间都是3分钟，应该按怎样的顺序炒菜？这个问题与前面两个问题有所不同，同一个人的两个菜是可以由两位厨师同时分开炒的，所以学生的炒菜方案出现了争议：

生1：【①②】【②③】【③①】

生2：【①②】【①②】【③③】

生3：【①①】【②②】【③③】

笔者合理利用学生的生成资源，引导学生进行比较辨析：这三种炒菜方案所用时间相等，如果你是這三个人中的③号，你会要求厨师采用哪种方案的顺序炒菜？说说你的理由。设计这个问题，目的是引导学生进行换位思考，是让学生跳出“最省时间”的思考角度，站在“等候时间”的角度再度审视炒菜方案，学生很快就发现第一个方案是最优方案，理由是第一个方案中第三个人等到第一个菜的时间最短。

生1：

[ ① ② ③ 等候第一个菜 3分钟 3分钟 6分钟 等候第二个菜 9分钟 6分钟 9分钟 ]

生2：

[ ① ② ③ 等候第一个菜 3分钟 3分钟 9分钟 等候第二个菜 6分钟 6分钟 9分钟 ]

生3：

[ ① ② ③ 等候第一个菜 3分钟 6分钟 9分钟 等候第二个菜 3分钟 6分钟 9分钟 ]

解决炒菜问题，不仅需要考虑炒菜时间最省模式，还要考虑等候时间最短模式，作为店主还可以关注饭店的客流量等，在数学核心素养的引领下，我们不仅要帮助学生学会数学地思维，更应该帮助他们逐步学会更全面、更深入地去进行思考，由理性思维逐步走向理性精神。

五、情境拓展，了解优化思想具有相对性，初步体验具体问题具体分析的方法

有意义的学习都是遵循“从实践中来，到实践中去”，想让数学优化思想根植于学生的思想深处，就必须让学生经历实践的检验。因此，笔者再一次返回早餐情境：“如果烙4张饼、5张饼、6张饼、7张饼……呢？”“你发现了什么？”在组织学生同伴合作探究，充分地猜想、推理、验证后，把表格填写完整：

[饼数 每面

时间 烙饼方法 烙饼

次数 最少时间 1 3分钟 【① 】【① 】 2次 3×2=6

（分钟） 2 3分钟 【①②】【①②】 2次 3×2=6

（分钟） 3 3分钟 【①②】【②③】【③①】 3次 3×3=9

（分钟） 4 3分钟 【①②】【①②】【③④】【③④】 4次 3×4=12（分钟） 5 3分钟 【①②】【①②】

【③④】【④⑤】【⑤③】 5次 3×5=15（分钟） 6 3分钟 【①②】【①②】【③④】【③④】

【⑤⑥】【⑤⑥】 6次 3×6=18（分钟） 7 3分钟 【①②】【①②】【③④】【③④】

【⑤⑥】【⑥⑦】【⑦⑤】 7次 3×7=21（分钟） ]

在学生交流自己的方案中，出现了下面这些亮点：

“4张饼轮流烙与2张2张地烙，都是12分钟完成。”

“饼数是双数的时候，2张2张地烙饼，锅里总是有2张饼，一定是最省时间的。”

“饼数是单数时，为了保证锅里总是有2张饼，一定要有3张饼轮流烙。”

“如果轮流烙饼，从第6分钟起，每隔3分钟完成1张饼；如果2张2张地烙饼，每隔6分钟完成2张饼，间隔时间比较长。”学生发现的这点非常重要，因为在实际等候过程中，每隔3分钟吃到饼与每隔6分钟吃到饼是完全不同的两个时间概念，不仅等候时间比较长，而且等候的人心里会特别着急。因此，在实际生活中，我们除了考虑烙饼人的最少时间以外，还可以考虑排队等候、吃饼速度等其他因素，多方面考虑问题选择烙饼的最优方案。

在学生充分交流的基础上，笔者逐步引导学生抽象概括出烙饼时间最省的方案：

当饼数是双数时，可以2张2张地烙；当饼数是单数时，先2张2张地烙，最后3张饼轮流烙；最省时间=每面时间×（最少烙饼次数）。

临近下课，笔者用课件呈现两个更大一些的锅，话锋一转：“如果锅里最多能放3张饼或4张饼，要烙7张饼，怎样才能尽快吃上饼？”学生一下子炸开了窝，各种方案抢着说，并且为了证明自己的烙饼方案最优，不停地寻找理由举证，力图说服对手，好一番浓厚的数学研究氛围……课堂探究用的情境是老师为了培养学生的数学理性思维精心设计的，实际生活却是变幻无常的，只有让学生体验到更复杂的情境，才能让学生逐步养成具体问题具体分析的思考习惯，才能体验到数学优化思想运用的关键因素，更加全面地、深入地进行思考，设计出最优方案。

（浙江省绍兴市北海小学教育集团 312000）