非自治广义Birkhoff系统的半负定矩阵梯度系统表示*

王嘉航，张毅

（1.苏州科技大学土木工程学院，江苏苏州215011；2.河海大学土木与交通学院，江苏南京210098）

梯度系统是一个数学系统，梯度系统是微分方程和动力系统研究中的重要问题[1-3]。如果一个力学系统能够化成为梯度系统，就可利用梯度系统的特性来研究力学系统的性质，特别是解的积分和系统的稳定性[4]。梅凤翔等[5-11]研究了 Lagrange系统、Hamilton系统和Birkhoff系统的梯度系统方法和斜梯度系统方法，陈向炜等[12]用具有负定非对称矩阵的梯度系统构造稳定的广义Birkhoff系统，曹秋鹏等[13-14]利用梯度系统方法研究了一类非自治广义Birkhoff系统的稳定性和分岔和约束自治广义Birkhoff系统平衡稳定性，李彦敏等[15]研究了非自治Birkhoff系统的广义斜梯度表示，陈向炜等[16]研究了广义Birkhoff系统稳定性对双参数的依赖关系，张毅等[17-20]研究了一类非自治Birkhoff系统的梯度表示。本文进一步研究非自治广义Birkhoff系统成为具有半负定矩阵梯度系统的条件，并利用半负定矩阵梯度系统的性质来研究非自治广义Birkhoff系统的稳定性。

1 半负定矩阵的梯度系统

半负定矩阵梯度系统的微分方程表示为[2]

其中aij（X）为半负定矩阵，V称为能量函数。考虑半负定矩阵aij（X）的性质，可得

如果函数V为Lyapunov函数，则可以利用Lyapunov定理判断解的稳定性。因此，如果函数V在解的领域附近是正定的，根据Lyapunov定理，可知解是稳定的。如果函数V不能成为Lyapunov函数，在一定条件下，有可能利用Rumyantsev关于部分变量稳定性定理来研究梯度系统的部分变量稳定性。

2 非自治广义Birkhoff系统的梯度表示

广义Birkhoff系统的运动微分方程为

其中B＝B（t，a）为Birkhoff函数，Rμ＝Rμ（t，a）为Birkhoff函数组，Λν＝Λν（t，a）为附加项。如果Birkhoff函数B和Birkhoff函数组Rμ都显含时间t，则称系统为非自治的。

假设系统非奇异，则方程（3）可表示为

一般而言，非自治广义Birkhoff系统不是一个梯度系统。如果能量函数V满足条件

显然这是一个半负定矩阵的梯度系统。因此在满足条件（7）时，非自治广义Birkhoff系统为半负定矩阵的梯度系统。

3 举 例

例1 二阶非自治广义Birkhoff系统的Birkhoff函数Birkhoff函数组为

附加项为Λ1＝2a1et-a2et，Λ2＝0，试将其化为半负定矩阵梯度系统，并讨论零解的稳定性。

解：由式（5）-（6）计算得

于是广义Birkhoff方程为

可写成如下形式

其中矩阵是半负定的，则能量函数V为

V在a1＝a2＝0的邻域内正定的，因此零解a1＝a2＝0是稳定的。

例2二阶非自治广义Birkhoff系统的Birkhoff函数组为

附加项为

其中μ是参数，试将其化为半负定矩阵梯度系统，并讨论零解的稳定性。

解：广义Birkhoff方程为

也可写成如下形式

其中矩阵是半负定的，则能量函数V为

当-1＜μ＜1时，V在a1＝a2＝0的邻域内是正定的，因此零解a1＝a2＝0是稳定的。

4 结 语

在力学系统的稳定性研究中，构造Lyapunov函数有时很困难的，而运用梯度系统的性质研究稳定性不需要构造Lyapunov函数。本文利用半负定矩阵梯度系统的性质来研究非自治广义Birkhoff系统的稳定性问题，将非自治广义Birkhoff系统在一定条件化为具有半负定矩阵梯度系统，算例表明了结果的有效性。

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