对偶思想在中学数学的渗透

2018-06-06杨伟达

数理化解题研究 2018年10期

杨伟达

(广东省广州市花都区第二中学 510820)

众所周知，数学和古诗词一样讲究对偶.而这种“对偶”常常渗透到中学数学的各个领域，体现了数学的和谐、统一、对称、简洁. 它的美极大地吸引无数数学爱好者，去体验数学的魅力，去感受到数学的乐趣. 因此，在解题教学中有意识渗透这种对偶思想，对培养和发展学生的创造性思维大有帮助.笔者就对偶思想的统一性、和谐性、对称性逐一举例说明，以飨读者.

一、对偶思想的统一性

对偶思想的统一性体现了整个命题的完整性，导出了部分与整体、部分与部分的关系.它渗透到集合与映射、函数、二项式的排列组合、数列的倒序、立体几何的倒放等.

例1 设(1-x+x2)50=a0+a1x+a2x2+…+a99x99+a100x100.求下列间隔为3的系数之和：

M1=a0+a4+a8+…+a96+a100；

M2=a1+a5+a9+…+a93+a97；

M3=a2+a6+a10+…+a94+a98；

M4=a3+a7+a11+…+a95+a99.

分析观察各个系数之和的特点，发现系数很有规律，系数的下标是公差为4的等差数列.其中M1+M2+M3+M4为全部系数之和；M1+M3为偶数系数之和；M2+M4为奇数系数之和.由此可见，求系数之和常常采用赋值法.不妨赋值为1，-1，i，-i即可.

解对上述二项式x的分别为1，-1，i，-i代入得：

a0+a1+a2+a3+…+a99+a100=1 (1)

a0-a1+a2-a3+…-a99+a100=350(2)

a0+a1i-a2-a3i+…-a99i+a100=-1 (3)

a0-a1i-a2+a3i+…+a99i+a100=-1 (4)

根据各系数的特点，联立(1)，(2)，(3)，(4)方程

a0-a2+a4+…-a98+a100=-1, (7)

a1-a3+a5+…+a97-a99=0. (8)

再分别将方程(5)，(6)，(7)，(8)联立,

分析在所给数值中发现两两互为倒数，故不妨从倒数变换入手.

二、对偶思想的和谐性

对偶思想的和谐性：关键在于一个与之对应的有效式子，双双参与运算.体现在函数(如：af(x)+bg(x)=?或af(x)-bg(x)=?)、三角函数、解几、方程、复数的共轭化等.

例3 求x=cos20°cos40°cos80°的值.

分析此题涉及三角化简求值.观察题设的条件是以乘积的形式出现，且角度成2倍关系，不难想象到用二倍角公式处理.因此需要“补形还原”即可.

解除常规的积化和差外，还可以用对偶化,

再利用sin2α=2sinαcosα得：

xy=cos20°cos40°cos80°sin20°sin40°sin80°

分析此题涉及解析几何的常规题型.因已知出现左右焦点，不难想象用概念定义，通过联立方程组即可求解.

两式相减可得(A+B)(A-B)=4cx，

解得A=a+ex，即|MF1|=a+ex.

分析一般情况不妨设Z=a+bi，Z=a+bi(a,b∈R),代入后利用复数相等的条件，可求a,b的值.除常规的代入法外，可采用复数共轭化列出方程组，避开了复数的代数式，直接变为复系数的一元二次方程即可求解.

解将复数方程共轭化：

代入原方程可化为一元二次方程,即

Z2+(2-3i)Z+(1-3i)=0.

Δ=(2-3i)2-4×1×(1-3i)=-9,

所以原方程的解为

三、对偶思想的对称性

对偶思想的对称性表现在命题本身具有对称性，从而使命题简单化.如函数、立几、解几等.形如圆、球，长(正)方形、长(正)方体等图形都可以通过它们的中心找到其特性(对称性)，从而快速、巧妙地解决了与之相关的数学问题.

例6 如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是A1B1、CD的中点，求直线AB与平面AEC1F所成角的正切值.

分析按常规思路，学生总是通过B点作平面AEC1F的垂线BH，H为垂足，然后再证明在正方体的对角线AC1上.我们若注意到正方体中诸多的对称性，就不难发现面ABB1E与面ABCF是关于面ABC1D1对称的，E、F是关于AC1对称的，从而B在面AEC1F内的射影H必须在AC1上，故找到直线AB与平面AEC1F所成角为∠BAC1.

在Rt△BAC1中即可求得∠BAC1的正切值.