函数与方程思想在高中数学解题中的应用探讨

赵祺

摘 要 本文对高中数学中的函数与方程思想的内涵作了探讨，并结合一些具体实例说明了函数与方程思想在数学解题中的应用。

关键词 数学 函数 方程思想 应用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

函数与方程思想是指在数学问题解决过程中，根据问题中的数量关系，构造或建立适当的函数与方程，应用函数与方程的知识及其性质进行分析问题和解决问题。函数与方程思想可以使数学问题解决变得简洁、明快，能够化繁为简，化难为易。

1高中数学中的函数与方程思想

函数与方程虽然是两个不同的数学概念，但它们之间有着紧密的联系。从高中数学角度来看，函数与方程思想主要在两个方面对解题发挥着很大的作用：一方面是联系有关初等函数的性质，解决关于求值、解析（证明）不等式、求解方程和关于参数取值范围的讨论等问题；另一个方面则是通过建立函数关系式和构造辅助函数，把需要求解的问题转化成为讨论函数相关性质的问题，从而简化题目难度。

1.1函数的思想

函数的思想总体上而言就是利用运动和变化的观点，进而分析研究数学中的数量关系，建立起函数关系或是构造函数，最终能够利用函数的图像和性质去分析、转化这些问题，使问题得以解决。

1.2方程的思想

方程思想指的是通过分析数学问题中变量的直接关系，从而建立起方程或方程组，或是构造方程，通过解方程或方程组，或运用方程的性质去分析、转化问题、解决问题。方程的思想要求对方程的概念有深刻的认识，在解题中需要利用方程或方程组的观点观察、分析和处理问题。

2函数与方程思想在解题中的典型应用

在下文，结合一些典型的题目来显现函数与方程思想在解 答高中数学题目中所发挥的独特的作用。

2.1求解不等式问题

例1：解不等式+5>0。

解析：题目中不等式可以简化为（）3+5>+5，

令（）=+5，则上式可写成（）>（），

易知函数（）=+5在整个R上单调递增，所以原式等价于>，

因此，解得： 1

点评：上述例题是函数与方程数学思想在不等式解题中的应用，是将不等式的求解问题转化为函数问题，再通过函数单调性简化问题。

2.2求解数列有关问题

例2：设数列{an}为等差数列，Sn是数列an的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列的前n项和，求Tn。

解析：设等差数列{an}公差为d，则有

，解方程可得：a1= 2，d=1。

所以，=a1+（n1）d= 2+（n 1），

又因 =，所以数列{}是等差数列，且其首项为 2，公差为，

即：Tn= n

点评：在例2中可以看到，利用题目已知条件，列出方程组，直接对问题进行求解，此外，数列实质上就是定义域为N的函数值列。应该注意N的无限子集中除N外均不能做为数列所对应的函数的定义域，有限子集也必须是规定的形式。数列的通项公式an=f（n），前n项和公式 Sn=g（n）实质上就是函数解析式。

2.3求解应用型问题

例3：甲、乙两地相距600千米，快车匀速走完全程需10个小时，慢车匀速走完全程需15个小时，两车分别从甲、乙两地同时相向而行，求从出发到相遇，两车的距离 y（千米）与行驶的时间x（小时）之间的函数关系式，给出自变量x的取值范围。

解析：由题目已知条件可以得到快车、慢车的速度分别为60 Km/h，40 Km/h，进而推出 y 与 x 的函数关系式为：y=600-（40+60）x，所以两车相遇所用的时间是6 小时，即有 0≤x≤6。

点评：就本体而言，主要是通过行程问题寻找变量 x、y 之间的函数关系式，在一般的题目中，解题时首先列出关于x、y 的方程式，再转化成 y 与 x 之间的函数关系式，值得注意的是 实际问题中自变量的取值范围的确定。

3函数与方程思想解题总结

从以上给出的例子可以看出，函数与方程思想在高中数学的解题中有着广泛的应用，巧妙利用函数与方程的数学思想通常可以将一个较为复杂抽象的题目转化成为简单具体的问题进行分析。在基于函数与方程数学思想解题的时候，有以下几个问题值得注意：

（1）看到一个题目，首先要想想是否可以一个代数式抽象成为看成一个函数，把方程化作函数，把字母可以设为变量。

（2）如果可以把一个代数式变成函数，把字母当作变量，是否应该充分运用函数的性质和图像来解题。

（3）如果题目中的问题不能简单地化作函数问题来处理，是否应该想到构造一个辅助函数来解决问题。

（4）对于一个等式是否可以把这个等式看作为一个含有未知数的方程来处理。

（5）对于一个方程，应该注意对这个方程的根（例如根的虚实、正负、范围等）有什么要求。

总之，函数与方程思想是高中数学解题中最基本的思想方法，在高中数学的学习过程中要加强这种思想方法的训练，以便熟练掌握这种思维方式，运用在题目的分析和解题中，不断地提高思维的灵活性。

参考文献

[1] 张同君.中学数学解题研究[M].长春：東北师范大学出版社，2002.

[2] 成世泰.例谈含参不等式的解法[J].数学教学研究，1998（04）.

[3] 严碧友.函数与方程思想应用面面观[J].中学生数理化：高中版，2004（03）.