基于APOS理论的高职数学的概念教学研究实践

崔立功

摘 要：在数学概念的教学过程中运用APOS理论有助于数学概念的自我建构，教师在这个过程中通过设计循序渐进的问题引导学生自我学习的一个能力的培养。

关键词：APOS理论 高职数学 概念学习

中图分类号：G718 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）12（c）-0200-02

1 APOS理论涵义

杜宾斯基认为，任何一个人是不可能轻易学到数学的概念的，数学概念的学习是个体通过生活中一些具体的实例，在教师的引导下层层递进不断建立起来的，要透过心智结构使所学到的数学概念有意义，而不是简单地教师将概念给出，然后再通过练习对概念强化达到认识的目的，而这样的学习只是一个表面的肤浅的认识，当堂课上或者很短的时间内可能会记住，但是没有做到真正地理解其实质，一段时间之后几乎忘光。APOS理论应该以学生为出发点，要充分考虑学生是如何能够学会，能够掌握，教师所有的教学理念、所有的一切准备都应该以从学生出发，以让学生自己完全理解，帮助学生学习为原则，设计教学计划。

APOS分别是由英文Action（操作）、Process（过程）、Object（对象）和Schema（图式）的第一个字母所组合而成。下面笔者将介绍在运用APOS理论在高职课堂的概念教学实践。

2 基于APOS理论谈概念教学的实际意义

高职提前单招的学生，普遍对自己的学习没有信心，他们中很多人都有学习习惯不好和学习动力不足的毛病。对于这样的试教对象来说过分地强调概念教学本来就是较难的，但是有部分概念在高职数学中也是尤为重要的，比如说导数、微分、积分等概念问题必须要让学生理解和领会，为此在具体的授课过程中我们采用了APOS理论，来确保学生能够领会和理解这些概念，让他们领会高等数学和初等数学的区别，发现数学的美。

3 基于APOS理论谈概念教学的具体实施

笔者结合APOS理论的四步骤设计了微分概念的教学进程。

3.1 第一：操作阶段

问题一：质地均匀的正方形金属薄片由于受热胀冷缩的影响，边长由原来的X0增加了VX，请问该薄片面积变化了多少？

给班级学生充足的时间进行思考，不久全部同学都能写出薄片面积增加的量为：

VS=2X0VX+（VX）2

问题二：质地均匀的正方形金属薄片由于受热胀冷缩的影响，边长由原来的X0增加了，请问该薄片面积变化了多少？

题目和第一题是一样的不过是数据换一下而已，很快学生就能写出答案：

3.2 第二：过程阶段

问题四：请同学们寻找一下上面几题的共同点和不同点，透过这个你能发现什么呢？

这个题目下去以后全班讨论气氛很热烈，不停地有人在发表自己的见解。最后我请了一位同学做了总结发言，共同点是自变量都是在定点X0处开始变化的，不同点是不同的增量最后得到的结果却是不一样的，而且可以发现随着增量的变小，这个增加值也随之变小，并且还可以发现VS-2X0VX=（VX）2该等式随着增量的减小左边两个式子的差值会愈来愈小。

在此基础上，我趁热打铁进一步抽象，摆出如果函数不是仅在一点X0而是在某个区间上任意点处，也做同样的变化，那么函数的增量是多少呢？

这次我给了很短的思考时间，学生们都能报出：VS=2XVX+（VX）2进而得到VS-2XVX=（VX）2。随着VX的变小，VS与2XVX的差会越来越小。

3.3 第三：对象阶段

问题5：请問2X与X2是什么关系呢？

同学们都发现了：2X是X2的导函数，则VS-s'VX=（VX）2随着VX变小，VS与s'VX的差会愈来愈小。因此可以得出一个函数的增量与函数导数和自变量乘积的差随着自变量的增量的逐渐变小而变小。

3.4 第四阶段：图式阶段

随着自变量增量的逐渐变小，函数的增量与函数导数和自变量乘积的差距会越来越小，因此这两个量会逐渐靠近，在自变量的增量逐渐趋近于零时，函数增量和函数导数与自变量增量的乘积将近似相等。函数导数与自变量增量的乘积我们用一个新的名词来刻画，这就是我们今天要讲的微分。所以请同学们给微分下个定义，只要大家的意思对就可以了。

全班同学在这样的引导下，很自然就能够给出函数的微分的定义，在此基础上老师再进行个别地方的修正和说明。最后达到了给出微积分中非常重要的微分的定义。

4 课堂小结

再次强调微分的定义，明确微分和函数增量的区别与联系，帮助学生进一步领会微分的深刻内涵，为进一步微分在近似计算方面的计算做好铺垫。

5 对APOS理论指导教学实践的反思

APOS理论揭示了学生学习微分概念的整个过程，经过“操作”、“过程”、“对象”和“图式”四个阶段，生动地反映了学生在学习微分概念过程中的思考活动过程，通过这个案例我发现只要我们教师肯下力气苦钻研，确实可以带领我们的学生掌握好这些较为苦涩难懂的概念。

具体在每个环节，对于问题的设计还是较为麻烦的，既要考虑问题的可操作性还要考虑和我们概念的关联性问题。情景创设是为了更好的教学服务的，也需要学生们积极地去思考，从现实生活中发现和体验数学的美。概念教学从过程到对象的过程是最困难也是最漫长的，需要多次讲解和引导，让学生真正掌握概念的本质。图式阶段是实际教学中容易忽视的环节也是体现教师能力的重要方面。图式阶段是最难的方面，需要学生从旧知识过渡到新知识，把握新旧知识之间的联系，认识到它们的微小差距，这个过程对老师的要求更加的高，数学教学不仅要有不错的数学功底还要有较好的教育学和心理学方面的知识储备，这样才可以设计出符合我们学生水平的教学设计。

APOS理论指导数学概念的教学，我个人也是在校级课题的申请时候才开始接触，本人也有很多地方需要学习和提高，争取在未来的教学工作过程中，力争把这个理论和分层教学糅合到一起，争取让我们的学生有更大的受益。

参考文献

[1] 王彩芬.基于APOS理论的无穷级数的概念认知分析[J].高等理科教育，2016（4）：86-90.

[2] 曾玉祥.APOS视野下的分层合作学习应用研究[J].黑龙江高教研究，2013（4）：171-173.

[3] 曹荣荣.APOS理论视角下无穷概念认知分析[J].数学教育学报，2009（1）：17-19.

[4] 曾玉祥.APOS理论在高等数学概念探究式教学中的应用[J].教育探索，2013（5）：42-43.