概率：用数学的新视角来认识世界

浦叙德

义务教育阶段的数学课程内容主要是“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四大板块.其中，前三个板块是以“显性数学知识”为主；第四板块以“运用应用知识”为主.小学里我们只是了解了最简单事件发生的可能性的大小.“概率”概念及其相关知识是初中三大显性知识板块中最后一个呈现的内容.本章“认识概率”是初中阶段学习概率的起始章，它为我们用数学的眼光认识世界提供了一个新的视角.

本章主要由“8.1确定事件与随机事件”“8.2可能性的大小”与“8.3频率与概率”三节内容组成.从知识逐步“生长”的角度看，这三节内容之间构成了一个递升的关系.所以，要学好本章内容，我们只需依次理清如下三个要点：

一、“随机事件”介于“不可能事件”与“必然事件”之间

事件有确定事件与不确定事件之分.确定事件又分为不可能事件与必然事件.不确定事件就是随机事件.如“太阳西升东落”就是不可能事件，不管如何，它发生的可能性为0；“太阳东升西落”就是必然事件，不管如何，它发生的可能性为100%；“明天会下雨”就是随机事件，它发生的可能性有大有小.所以，针对一个事件，我们首先要学会判断它属于哪类事件.如果对事件按照发生的可能性从小到大进行排序，那么依次为不可能事件、随机事件、必然事件.换句话说，随机事件居于不可能事件与必然事件这两类确定事件之间.

【例1】下列事件是必然事件的是（ ）.

A.某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖

B.一组数据1，2，4，5的平均数是4

C.三角形的内角和等于180°

D.若a是实数，则[a]>0

【解析】在一定条件下，事先能肯定它一定会发生的事件叫做必然事件.在四个选项中：A、D是事先无法肯定的，为随机事件；B是事先能肯定一定不会发生的，为不可能事件；只有C是必然事件.所以，答案选C.

二、“随机事件”发生的可能性有大有小，可以用“可能性的大小”来衡量

随机事件是在一定条件下，事前无法确定会不会发生的事件.它不是不可能发生，也不是必然发生.那么，如何来刻画随机事件呢？可以用随机事件发生的可能性的大小来刻画.如对于“用写有1、1、2的三张签来给人抽签”这个事件，你抽到的可能是“1”，也可能是“2”，但你抽到“1”的可能性比抽到“2”的可能性大.

【例2】请你谈谈对下面三个事件发生的可能性的认识.事件1：抛一枚硬币，正面朝上的可能性；事件2：抛一个每个面上分别标有1、2、3、4、5、6的正方体骰子，标有1的面朝上的可能性；事件3：正面分别是2、3、4的三张扑克牌反面朝上，抽到正面是2的可能性.小明是这样说的：它们都是随机事件，它们发生的可能性无法确定.小红是这样说的：既然大家都是随机事件，它们发生的可能性是一样的.你认为呢？

【解析】首先，小明、小红都认识到这三个事件都是随机事件，他们在这一点上是正确的.其次，上述随机事件发生的可能性既不是无法确定，也不是一样大.再次，随机事件发生的可能性有大有小，可以用可能性的大小来判断.就事件1而言，抛后硬币正面朝上的可能性与反面朝上的可能性是一样的.所以，正面朝上的可能性是[1/2].就事件2而言，抛后骰子上标有1、2、3、4、5、6的面朝上的可能性也是一样的.所以，标有1的面朝上的可能性是[1/6].就事件3而言，同理可得，抽到正面是2的可能性是[1/3].综上，这三个随机事件发生的可能性有大有小.硬币正面朝上的可能性最大.其次是抽到正面是2的可能性.标有1的面朝上的可能性最小.

三、用频率的大小（频率的稳定性）估计概率

“随机事件发生的概率”就是这个事件发生的可能性大小的数值.概率是由随机事件自身决定的，是随机事件自身的属性，它反映了这个随机事件发生的可能性大小.虽然有时我们不能直接确定一个事件发生的概率是多少，但它发生的概率值却真实存在着.有时我们可以用“频率”来估计“概率”，找到这个确定的值.这个值就是该事件发生的概率.

【例3】小芳掷一枚质地均匀的硬币10次.有7次正面向上.当她掷第11次时，正面向上的概率为_____________.

【解析】首先，我们要搞清“频率”与“概率”这两者的区别与联系.对于一个随机事件而言，事件发生的概率是一个确定值，与试验的次数无关.而试验中的频率是不确定的.当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定；当试验次数增大时，频率会逐渐稳定在某一个值上.这个稳定的值就是概率.掷一枚质地均匀的硬币时，前10次中有7次正面朝上.此时，正面朝上的频率为0.7.第11次掷之前，谁也不知道结果是正面朝上还是反面朝上.但随着试验次数的不断增加，我们会发现，正面朝上的頻率会逐步接近0.5.而这个0.5正是“掷硬币正面朝上”事件的概率.所以，不管第几次掷硬币，正面朝上的概率始终等于0.5.

总之，事前可以肯定一定不发生或一定发生的事件是确定事件，对这类事件的研究比较简单.而事前不可预言结果的事件是随机事件，对这类事件的研究相对比较复杂.研究随机事件的最大意义就是：虽然事先不能确定一个事件发生的最终结果，但可以通过对“概率大小”的研究，知道它发生的可能性的大小.如果我们把“方程”看作“未知中的已知”，那么“概率”就可以看作“不确定中的确定”.概率会为我们对某件事情的合理安排、决策提供有力的数据支撑.

（作者单位：江苏省无锡市新吴区教师发展中心）