二次函数交点式在解题中的妙用

陶克斌

摘要：二次函数在中考题目当中一直是热点和难点，在教学过程中，部分学生对二次函数知识的理解运用不是很到位，这是由于二次函数可分为一般式、交点式和顶点式等多种形式，学生难以区分把握。其中，交点式二次函数在解决最值问题时能发挥较大作用，需要重点理解掌握，往往能够将题目简化，让人豁然开朗，完成解答。对此，本文就交点式二次函数问题进行阐述。

关键词：二次函数交点式;最值;对称轴

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2018）15-0224-01

引言

函数在初中数学课程体系当中一直是重中之重，其知识体量大，知识点复杂，对于定理和定义的理解需要十分到位且深刻，才能把二次函数掌握清晰，因此是教学任务的主要攻克对象，教师与学生均对其投入了巨大的时间和精力。在考试中，函数经常作为压轴题和难点题出现，学生在解答过程中往往会感觉到力不从心，丢分现象严重。学生利用常规方法解答函数题目，往往通过大量计算和思考也不能保证解题的正确率。对此，笔者结合实际教学经验，提出二次函数的交点式解题方法，可大幅度简化部分二次函数问题，提高得分率。

1.求对称轴

当已知函数解析式为y=ax-x1x-x2时，可令y=0，代入方程得a（x-x1）（x-x2）=0，可以解得抛物线与横轴交点坐标A（x1，0）、B（x2，0），由于二次函数曲线具有对称性，可知此两点坐标关于其对称轴是互相对称的，则其对称轴横坐标为x=x2-x12。

例1 ：二次函数y=a（x-1）2+4，已知其与x轴一个交点为（2，0），求该抛物线与x轴另一个交点。

解：常规手段可以利用（2，0）代入方程，解得a=-4;

得出解析式为y=-4（x-1）2+4;

繼续令y=0，可得-4（x-1）2+4=0;解该方程可得另一个交点为（0，0）。

如果利用交点式可知，该二次函数的对称轴为x=1，利用其对称性可知另一个交点坐标为（0，0）。

2.求解析式

所谓交点式即利用二次函数与横轴交点，设x1、x2为二次函数的两个解，形如y=a（x-x1）（x-x2）即为二次函数的交点式，x1、x2分别为二次函数与横轴的两个交点的横坐标，交点坐标为A（x1，0）、B（x2，0）。由于方程式中只有一个未知数a，则带入一个已知点坐标即可得出字母a的数值，从而确定其函数解析式。

例2：已知抛物线经过点（1，0）和（-2，7），抛物线的对称轴为x=3，求抛物线的解析式。

一般的解题方法可以利用抛物线一般方程y=ax2+bx+c，把已知两点的坐标代入其中可得方程组a+b+c=04a-2b+c=0-b2a=3，

解方程组可得a=13b=-2c=53

而利用交点式则可以利用对称轴为x=3，一个点为（1，0），则另一个交点为（5，0），抛物线解析式y=a（x-1）（x-5），再将点（-2，7）代入其中即可得到a=1/3，则解析式为y=13x2-2x+53。

3.求最值

例3：用一条长为30m的绳子围出一块一边靠木板的矩形空地，怎样围才能保证这块空地面积最大，求其最大值。

解：设矩形的宽为x m，则矩形的面积为y m2，则平行于木板的边长为（30-2x ）m，

则y=（30-2x）x

一般式为y=-2x2+30x

配方得y=-2（x2-15x）

y=-2（x-152）2+2252

所以在x=15/2m时，ymax=225/2。

利用交点式则可轻易解题y=（30-2x）x;

令y=0，解得x1=15、x2=0;该抛物线对称轴为x=15/2，将其代入解析式可得ymax=225/2。

结语

数学作为基础工具学科，在初中课程体系内占比极大。而函数作为学生数学学习的重点，掌握科学、有效的方法和思路是学习的关键之处。试卷中的题目不仅仅是考察学生对知识点的掌握程度，也考察了个人对知识点的理解深度。因此教师不能仅要求提高学生自主学习能力，还要拓宽其知识面，教给学生一些巧妙的解题思路和能化繁为简的技巧。

参考文献：

[1]杜能初.例谈二次函数交点式的应用[J].读写算，2014.15.

[2]曾韵逸.二次函数交点式在解题中的妙用[J].课程教育研究，2014.25.