谈函数零点的几种转化方法
2018-06-01徐燕玲
徐燕玲
摘要：零点，方程根的个数方面问题的，往往转化成两个易作图像的函数公共点个数问题。如何选取这两个函数，对称问题，纵坐标相等问题如何转化为零点问题。本文主要对这几个问题进行阐述和分析。
关键词：零点；图像交点；对称问题；纵坐标相等
中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2018）15-0149-01
函数的零点是考纲上要求的基本内容，也是高中新课程标准新增内容之一，是函数的重要性质，是联系函数，方程，图像的一个重要媒介。另外，函数的零点是最近几年数学高考出题的热点，无论是选择题，填空题，解答题的压轴题出现这个知识点的频率都很高。较简单的类型零点可直接求出，零点问题变化较多，但寻求f（x）=g（x） 的零点个数主要方法还是转化成两个函数y=f（x），y=g（x） 的公共点个数，关键在于y=f（x），y=g（x） 的函数图像在同一个直销坐标系中容易画出，有时需要进行变形整理。有些对称问题和纵坐标相等的问题我们都可以转化成函数交点问题来解决。
1.零点个数转化成两个函数公共点个数
例1：函数f（x）=2x|log12x|-1的零点个数是。
分析：直接画f（x） 的函数图像显然行不通，分成y=2x|log12x|，y=1 ， 再画图找公共点也行不通；函数的零点即是2x|log12x|-1=0 的根，移项得到2x|log12x|=1 ，|log12x|=12x=（12）x ，此时两个函数找到了，y=|log12x| 与y=（12）x 的公共点显然有2个。
例2：函数f（x）=1-|x+1|，x<1x2-4x+2，x≥1 ，则函数g（x）=2|x|f（x）-2 的零点个数为个。
分析：g（x） 的解析式太复杂，不适合直接画其图像。像例1一样把2|x|f（x）-2=0 处理成f（x）=22|x|=12x-|x|=（12）|x|-1 ，再把 与 的图像在同一个直角坐标系中画出，可发现公共点个数为3。
2.对称点的问题转化图像交点
例3：若函数f（x）=x2+In（x+a）与g（x）=x2+ex-12（x<0） 的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是。
分析：这道题的两个函数仅是存在一对对称点，两个函数图像本身并没有对称关系。只能考虑设点M（x0，y0），N（-x0，y0），x0>0 分别在y=f（x），y=g（x）上，代入可得
y0=x20+In（x0+a），y0=（-x0）2+e-x0-12
即x20+In（x0+a）=（-x0）2+e-x0 -12
In（x0+a）=e-x0-12 此时问题转化成关于x0 的方程In（x0+a）=e-x0-12 在（0，+∞） 上有解。
y=In（x+a） ，y=e-x-12在同一個直角坐标系中画出它们的图像，若在（0，+∞） 有交点，只需Ina 例4：若函数y=f（x） 图象上不同两点M，N 关于原点对称，则称点对[M，N] 是函数y=f（x） 的一对"和谐点对"（点对[M，N] 与[N，M] 看作同一对"和谐点对"），已知函数f（x）=ex，x<0x2-4x，x>0 ，则此函数的"和谐点对"有（）。 A.3对B.2对C.1对D.0对 分析：这道题是一个函数自身存在一对关于原点对称的点，跟例3相差无几。 设M（x0，y0），N（-x0，-y0），x0<0 分别在y=ex，y=x2-4x 上，代入得y0=ex0-y0=（-x0）2-4（-x0） ， 代入消去y0 得ex0=-x20-4x0（x0<0）（*） ，题目转化为方程（*） 根的个数，画图可得两个函数y=ex，y=-x2-4x 的交点个数为2。 3.纵坐标相等的条件转化 例5：f（x）=|lgx|，0 A.（1，10）B.（5，6）C.（10，12）D. （20，24） 分析：由条件f（a）=f（b）=f（c） 可把a，b，c 看作常数函数y=m 与 y=f（x）的三个公共点横坐标。 A（a，|lga|） ，0 C（c，-12c+6），10 -lga=lgb，lg（ab）=0，ab=1，所以abc=c∈（10，12） 。 由以上几个例子我们可以发现，零点个数，对称点，纵坐标相等的问题我们都可以转化成寻找两个函数的图像公共点的问题。要善于发现规律，总结规律，更要懂得从条件中分析出内在的联系以便将问题的有效转化。
