三次数学危机

申世林

摘 要：数学史是一部漫长的历史，每一次危机都会带来不同程度的变革。迄今为止，数学史中发生了三次数学危机，都在不同程度上推动了数学的发展。第一次数学危机对现在几何的发展产生了重大的影响；第二、三次危机则直接关联着我国数学分析的发展。综上所述，三次数学危机对数学发现的影响是其他历史事件所不能比拟的。从世界范围来说，三次数学危机产生的新内容都极大地推动了数学的发展。

关键词：数学危机 数学发展 中国近现代数学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2018）05-0-01

一、引言

不同的历史发展阶段，人们的认识是不同的，数学也不例外。由于人类的思维在不同阶段有一定的相对性和局限性，因此，如果一种数学现象不能用当时的数学理论解释，而且影响到了数学基础，我们便认为这就是数学危机。数学中有许多矛盾，比如加法与减法、微分与积分、实数与虚数等等。我们可以把数学史的发展认为是一个矛盾斗争的开始、斗争的激化以及解决的过程。

二、三次数学危机

1.第一次数学危机

第一次数学危机是希腊的毕达哥拉斯的悖论。当时人们一直认为一切事物都可以用整数或者整数比来表示。但是这一信条却遭到了质疑，在勾股定理的应用中，一些直角三角形的斜边不能被表示为整数或者整数比。这一悖论触犯了毕达哥拉斯的根本信条，导致了毕达哥拉斯关于数的信条的崩裂，甚至关于以数为基础模型的破产，所以被称为“第一次数学危机”。

这次数学危机表明，在几何中的某些真理和算术是不相关的，几何量并不是完全可以由整数或者整数比表示出来的。这次数学危机使整数权威的地位被动摇，与此同时，几何的地位逐渐升高。数学家们通过对第一次数学危机的研究，给我们带来了无理数，并且提出了一个含有有理数和无理数的数类，称之为实数，并建立了一套完整的实数理论。总的来说，第一次数学危机为数学的发展作出了不朽的贡献。

2.第二次数学危机

17世纪末，牛顿和德国数学家莱布尼兹首先创造了微积分，形成了微积分学。由于当时没有具体严密的理论，只有方法，所以很多漏洞频频出现。英国哲学家贝克莱将矛盾直接指向了无穷小问题。牛顿等人不能自圆其说，在当时引起了激烈的影响，被称为是“第二次数学危机”。

第二次数学危机的出现让数学家们感受到了咄咄逼人的气势，数学家们不得不设法解决这个无穷小的问题。法国数学家柯西起了举足轻重的作用，他建立了极限理论，并且提出了“无穷小量是以零为极限但永远不为零的变量”，为微积分在极限理论上奠定了坚实的基础。对于悖论问题的产生以及解决，使得数学理论体系得到不断的发展，可以说危机在一定程度上是推动数学发展的主要动力。

3.第三次数学危机

与前两次数学危机有所不同的是，第三次数学危机的出现是由于突然的冲击出现的。英国数学家罗素的“罗素悖论”涉及某理发师的具体困境，当时的理发师称自己给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且只限自己本村。于是人们就非常疑惑，“理发师是否可以给自己刮脸呢？”如果按照理发师自己宣称的原则就应该可以为自己刮脸。如果他不能为自己刮脸，那么他就连自己宣称的规则也不能够符合。此悖论的出现动摇了整座数学大厦，而且是绝无仅有的。罗素认为人们如果想要消除恶性循环的原理，就必须遵循一个原理，即涉及一个整体的对象时，那么他本身就不应该是该集体的成员。于是，罗素提出了撼动整个数学圈的分支类型论，并得到了很多数学家的一致赞同，最终共同形成了一个完整的集合论公理体系。此理论的出现不仅消除了罗素悖论，同时消除了集合论的其他悖论。从此之后，第三次数学危机便销声匿迹了。

三、三次数学危机折射的数学思想

三次数学危机不仅是数学史上的关键点，而且在危机中所产生的哲学思想对我们也有很大的启发作用。数学思想一向坚持清晰易懂的原则，清晰易懂的数学问题也更能吸引人们的兴趣，复杂的问题则可能会使得人们望而却步。通往真理的道路注定是一条曲折的道路，但是其背后隐藏的真理却是指引我们前进的明灯。三次数学危机不仅撼动了整个数学的发展过程，它所产生的数学思想也是非常重要的。数学危机所带来的思想使得数学具有多样性，给数学的发展带来了不少的丰功伟绩。

四、从我国发展看数学危机

我国的数学危机伴随着中国人民共和国的诞生出现了生机勃勃的景象，这是我国社会主义建设的必然要求，同时也是我们党和国家高度重视的科学技术成果。我国在1950年开始筹建数学研究所，匆匆两年的时间，在1952年就正式成立。我们不得不承认，数学对我们现代生活的影响是与日俱增的。在现今的生活中，数学渗透在我们工作生活的方方面面。所以说，数学的普及无论是对于数学家来说，还是对于卧铺普通民众来说都是需要引起重视的课题。

五、总结

三次数学危机对数学的影响是巨大的，第一次数学危机使得古希腊的数学基础产生了根本性的变化，第二次数学危机柯西指出了无穷小量和无穷大量都是变量，而且还定义了导数和积分，第三次数学危机建立了实数理论，并且在实数理论的基础上建立了极限理论。依赖于数学危机，公理化方法和数理逻辑等很多新颖的学科都被建立起来。不管是我国还是世界的发展都离不开三次数学危机所产生的新内容。

参考文献

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