数形结合讨论二次方程的符号和范围

龙袁媛

【摘 要】用数形结合的方法讨论一元二次方程的根的问题

【关键词】根分布；△；根与系数的关系

一元二次方程的根分布问题，表面是方程问题，实质上往往是二次函数的图像、性质、解不等式的综合问题。求解时既要注意求根公式、根与系数的关系、判别式等的应用，更要注意数形结合。一般要考虑的内容有：开口方向、对称轴位置、判别式△、区间端点的函数值符号等。

下面通过实际例子来说明这一点：

例1 如果方程 x2+（k+2）x+k+5=0 ，有两个不相等的正根，求k的范围。

解：設f（x）=x2+（k+2）x+k+5

∵ a>0 抛物线开口向上

如图1

又∵ 方程有两个不等的正根

∴△> 0f（0）>0 ？陴 -50

∴ 当-5

例2 当 a 为何实数时，方程 （a2-1）x2-6（3a-1）x+72=0有一个正数根，一个负数根。

解：设f（x）=（a2-1）x2-6（3a-1）x+72

由题设可知a≠±1

讨论： 1、当a2-1>0时，抛物线开口向上（图2）

∵方程有一个正数根，一个负数根

∴a2-1>0f（0）<0 ？陴 a<-1 或a>172<0

无解

2、当a2-1<0 时，抛物线开口向下（图3）

∵方程有一个正数根，一个负数根

∴a2-1>0f（0）<0 ？陴 -10

-1

∴ 当-1

例3 若方程7x2-（k+13）x+k2-k-2=0 有两实根x1和x2，且满足0< x1<1< x2<2，求实数k的取值范围。

解：设f（x）=7x2-（k+13）x+k2-k-2

∵ a=7>0 ∴抛物线开口向上（图4）

又∵ 0

∴f（0）>0f（1）<0f（2）>0 ？陴 k<-1或k>2-23或k<3

k∈（-2，-1）∪（3，4）

∴当k∈（-2，-1）∪（3，4）时，方程有两实根x1和x2，且满足0

以上三例说明，用数形结合的观点去解决上述这类问题，能把知识融会贯通，又能开阔解题思路，提高解题能力，使许多抽象的概念更加形象化、直观化，从中找出它的规律。利用数形结合的基本思路和方法，把所学的知识有机的结合起来，为今后进一步学习数学奠定基础。