OMP算法参数对超声图像重构质量的实证分析∗

石昊苏

（西北政法大学商学院 西安 710063）

1 引言

超声图像是利用超声声束进行扫描，然后对反射信号接收、处理，所获得的重构图像。早期超声图像成像依据奈科斯特采样定理，需要收集大量数据、以及更大的存储空间，导致成像效率低、处理过程耗时［1］。2004 年 Tao［2］和 Donoho［3］提出了一种突破奈科斯特采样定理限制的压缩感知（Compressed Sensing）理论，通过欠采样将待测信号进行压缩，然后经过传输和接收，利用重建技术还原待测信号。目前压缩感知理论主要研究方向分为信号稀疏性、测量矩阵和重构算法这三大部分［4］。其中重构算法最为重要，包括：最小全变分法、匹配追踪（Matching Pursuit）系列算法、最小L1范数法，以及阈值迭代算法［5］。被广泛关注的匹配追踪系列算法大致思路是通过迭代方式选出信号的最佳支撑，之后基于贪婪准则选择局部最优解，再逐步逼近原始信号。最初的匹配追踪算法针对低维度小尺度信号具有较快的运算速度，但是当大尺度信号存在噪声时，其重建结果不够精确［6］。后来在其基础上又有正交匹配追踪算法（Orthogonal Matching Pursuit）［7］。

本文通过仿真实验在高斯测量矩阵下，选取OMP算法中的不同测量值、迭代次数、量化步长，分析这几个参数对超声图像重构质量的影响，并给出变化规律。

2 压缩感知理论

2.1 压缩感知原理

一般情况下，自然信号在时域内不是稀疏的，但通过某种变换后可能成为稀疏的。假设存在N×1维有限长离散实信号 x[n]∈RN，n=1，2，…，N。在RN的维度内，任意信号都可用N×1维的基矢量来表示。如果基矢量中各元素之间相互正交，且矢量作为N×N维矩阵 Ψ=列，则信号x可表示为

其中，s为加权系数为 N×1维列矢量；[⋅]T为转置符。x和s为相同信号在不同域内的表达形式，其中，x为时域，s为变换域。若信号x为K个基矢量的线性组合，那么信号x是K-稀疏的，式（1）中 si仅有K个非零数。

假设测量矩阵为Φ，测量矢量为M×N阶测量矩阵Φ的行，M×1阶的测量矩阵y是由测量值 yj构成的 y∈RN。当M＜＜N时，计算x与矢量的内积，使得 y≤x，Φ ＞ 。代换式（1）中的jjΦ，于是可得

式（2）中Θ为M×N阶矩阵。式（2）为非自适应的测量过程，测量矩阵Φ是一个独立于x的固定矩阵。该过程可认为是稀疏信号y为原信号x在矩阵Φ下的线性投影。

2.2 等距约束特性

由于测量矩阵的行数远远小于列数，使得式（2）的解不唯一。设计这样的测量矩阵需要既保证降低了信号的维数，并且要求原始信号x的信息损失最小。

如果信号x是K-稀疏的，已知系数矢量s中非零系数值K的位置，当M≥K时，式（2）可以很容易地求解。一般情况下并不知道稀疏矢量s中非零元素的位置，为了求解式（2）的稳定解，Θ需满足限制等距特性（RIP），Θ=ΦΨ。

Candès和Tao等提出了的同一不确定原则使得K×N阶的测量矩阵满足“约束等距特性”。假设ΦT是测量矩阵Φ的列构成的K×|T|阶子矩阵，T⊂{1，2，…，N}。对于所有的子集T（|T|≤S），以及系数序列sj，j∈T，存在一个最小量σk使得：

表示，如果 σk∈(0，1)，那么测量矩阵 ΦT就满足变量为σk的K阶限制等距特性。同时σk等价于：

式（3）表明测量矩阵Φ的所有列的子矩阵中至多需要K列就可以满足条件。

3 正交匹配追踪OMP算法

3.1 基本思想

正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法属于一种改进贪婪迭代算法，该算法在每次迭代过程中从过完备集中选出原子，然后以Gram-Schmidt正交化方法进行正交［8］，将采样值投影到由这些正交原子张成的空间上，得到信号在该正交原子集上的分量和余量，最后以相同的方法继续分解余量，余量会随着分解过程迅速减小。通过递归的方式使已选择原子集合相互正交，以保证迭代的最优化，从而使迭代次数减少。

算法实现过程：

1）余量初始化r0=v，索引集合ˆ0=Ø，设置迭代次数t=1；

2）搜索索引λt，求解优化问题：

3）添加索引集合、已经存在原子矩阵，即：

5）计算 at和 rt：

6）迭代t=t+1，当t＜m跳回步骤2）；

7）估计值ŝ在索引集合ˆm中对应项上得元素非零，且在该位置的值就是对应分解系数：

4）求解最小二乘法问题：

3.2 仿真实验

3.2.1 实验平台

本 次 实 验 采 用 Inter®Core（TM）i3-4160 CPU3.60GHz处理器，4GB内存（3.43GB可用），Win8（32位）操作系统，采用Matlab2014作为仿真实验工具。

3.2.2 参数选取

1）测量矩阵

对于任意固定的正交基Ψ、测量矩阵Φ，若满足，其中c为常数，则 Θ=ΦΨ 很大程度上满足限制等距特性。测量矩阵Φ可以选取贝努力测量矩阵或高斯随机矩阵，高斯随机矩阵中各元素相互独立、属于同分布，且满足（0，1/N）的正态分布。贝努力测量矩阵中的各个元素都是等概率分布的，且满足本文采用高斯测量矩阵。

2）变换基

本文选取与测量矩阵高斯、贝努力两种矩阵相关性都非常低的DCT为稀疏变换基［10］。因为在诸多的图像正交变换中（如K-L、Fourier、Walsh和DCT），DCT离散余弦变换能消除、降低数据之间的相关性，实现超声图像在变换域的稀疏化［11］。

3）评价标准

峰值信噪比（PSNR）是最普遍，最广泛使用的评鉴画质的客观量测法［12］，经常被用于评价原始图像与重构图像之间的相似度：

其中RMSE为重构图像的均方根误差：

上式中I(i，j)为重构图像，K(i，j)为原始图像。

PSNR值越大，就代表失真越少。个别时候PSNR的分数有可能和人眼看到的视觉品质不太一致，这是因为人眼的视觉对于误差的敏感度并不是绝对的，其感知结果会受到许多因素的影响而产生变化，譬如人眼对空间频率较低的对比差异敏感度高、对亮度对比差异的敏感度较色度高，对一个区域的感知结果会受到其周围邻近区域的影响。

3.2.3 图像处理

选取硬币的超声C-扫描图像（图像来源：www.pacndt.cn，由美国物理声学公司ULTRAPAC对硬币扫描产生像素为256*256的灰度图像），如图1所示。首先将超声图像变换到DCT域内，图2是图1中原始超声图像DCT域内分布形式。

在DCT域内，利用高斯测量矩阵进行采样，测量值为340，迭代次数等于200、量化步长等于0.0002、残差为0.001，重构图像如图3所示，PSNR=13.16dB。

图1 原始图像

图2 DCT系数分布

图3 重构图像PSNR：13.16dB

1）测量值对重构图像质量影响

保持迭代次数等于200、量化步长等于0.0002、残差为0.001，在DCT域内改变测量值进行图像重构。表1给出了测量值对重构图像质量的影响。

表1 测量值对重构图像质量的影响

2）迭代次数对重构图像质量影响

保持测量值为200、量化步长为0.0004、残差为0.001，改变迭代次数进行图像重构。表2给出了迭代次数对重构图像质量的影响。

表2 迭代次数与重构图像质量关系

3）量化步长对重构图像质量影响

保持测量值为200、迭代次数为200、残差为0.001，改变量化步长来进行图像重构。表3给出了量化步长对重构图像质量的影响。

表3 量化步长与重构图像质量的关系

4 结语

4.1 分析

1）测量值分析

由表1可知，由于测量值的增加导致测量矩阵列向量中元素的增加，从而使列向量中非零元的个数增加，即包含原始图像的信息量增加，所以重构图像的质量越来越好；但是测量值的增加，导致算法执行过程中计算量的增加，所以重构时间也增加了。

2）迭代次数分析

由表2可知，保持其他参数不变的情况下，正交匹配追踪执行过程中需要计算测量矩阵列向量与冗余向量之间的相关程度，迭代次数少会影响其相关程度，因此随着迭代次数增加，测量矩阵列向量与冗余向量之间的相关程度就越大，重构图像的质量越来越好；但是迭代次数增加必然导致算法的计算量增加，重构所用时间也增加了。

3）量化步长分析

量化的目的是减少数据量，所以量化步长的一定程度影响存储数据量。由表3可知，随着量化步长的增加，重构图像PSNR值的变化不大，重构图像所耗费的时间也变化不大。但量化步长的选取不当，会使图像的高频成分丢失，导致重构图像的锐度降低、边缘模糊等。

4.2 结论

本文应用压缩感知理论及OMP算法对超声图像进行重构，通过仿真实验实证分析OMP算法在高斯测量矩阵下，测量值、迭代次数、量化步长三个参数的变化对超声图像重构质量的影响，结果表明：随着测量值、迭代次数的增加，重构图像的PSNR值越来越大、重构图像的质量越来越好，重构时间相应地增加；当测量值、迭代次数增加到一定程度时，重构图像的质量基本不变，而重构时间还在巨幅增加；量化步长增加可以减少数据量，对图像PSNR值影响不大，但当量化步长过大，因超声图像的高频成分丢失，会使重构图像的锐度降低、边缘模糊。

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