自然的微积分——时空悖论

刘玮

过直线外一点作与已知直线不相交的直线，可能只有一条，可能有无数条，也可能一条都没有。每一种可能性都自成系统，都能自圆其说，它们分属于欧氏几何和两种非欧几何。

浩天看着鹏飞：“两条直线除了相交和不相交之外还有一种情况——既相交又不相交。”

鹏飞惊奇地看着浩天，一时没有明白他的意思。

浩天拿起笔在纸上画了个叉：“你说这两条直线相交一定有一个公共点吗？”

鹏飞：“当然了，交叉点既在这一直线上也在另一直线上，这一点就是它们的公共点啊！”

浩天：“直线是由无数个点排列而成的，这些点之间不会有空隙吗？怎么能保证另一直线不从这一直线的空隙穿过？这样的两条直线看起来相交，但也许并不相交。”

鹏飞：“欧几里得说，‘点是没有部分的东西，意思是点是不可分割的，不能再小的。它不占据空间体积，只占据一个空间位置。点组成直线，它们必定是密集的，一条直线穿过另一条直线，必然要碰到一个点，这个点就是交叉点。”

浩天：“为什么碰到的恰好是一个点，而不是两个紧挨着的点？就像打台球时可以打两个紧挨的球中间，同时击中两球。”

“台球是有大小的，点是没有大小的！”鹏飞有些不耐烦了。

“那我再问一个问题。”浩天不依不饶，动手在纸上画一条线，然后拿起一把剪刀将纸剪开，纸上的线被分成了两段。“剪刀是把这条线剪断了吧。请问，剪刀是恰好剪到了一个点，还是从线上两点间的空隙穿过了？”

“当然是剪到一个点上了！”

“那么请问，这个被剪到的点是被分到了左边还是右边，还是粘在了剪刀口上？”说着，浩天还故意向剪刀口上看了看。

鹏飞哈哈大笑：“好一个浩天，你就是苏格拉底的翻版啊，不知不觉我就进了你的圈套！”

浩天很认真地说：“不要笑，你给我解释啊！”

“好吧，我们再去一趟古希腊。”

浩天和鵬飞一起通过电脑虚拟幻境又来到古希腊，这次他们来到意大利半岛南部的埃利亚。

街头有一位英俊的中年男子，身边围着许多人，他就是大名鼎鼎的芝诺。浩天和鹏飞悄悄站到了人群中。

芝诺大声宣布：“关于运动，我认为是不可能的！”

人群里马上有人反驳：“芝诺先生，请问你是怎么从家里来到街上的？”

芝诺并不理会，继续说道：“我请大家思考几个问题。第一，如果你要从A向B走一段距离，那么你势必要先经过AB的中点C，而你要从A走到C，也必须先到达AC的中点D……如此一直这么推理下去，由于无论多么小的距离总是存在中点，无穷无尽，所以你将无法起步，无法运动起来。”人群静了下来，都在思考着这个诡异的问题：要通过一段距离，必须要经过无数个中点，真的还就动不了了呢？

芝诺

有个年轻人挤到芝诺跟前：“你看好！”说完他从街道的这边走到另一边，又走回来。

芝诺微笑着说：“我用思辨提出问题，你也该用思辨来回答。”

年轻人一时无语。

芝诺：“第二，阿喀琉斯追不上乌龟。”

“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄！怎么会追不上乌龟？”人群中有人喊道。

芝诺：“假设阿喀琉斯的奔跑速度是乌龟的10倍，乌龟领先他100浮（古希腊的长度单位，1浮=1.892米）起跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为阿喀琉斯必须先追到前面100浮远的乌龟出发点。当阿喀琉斯追了这100浮时，乌龟已经又向前爬了10浮，于是一个新的起点产生了;阿喀琉斯必须继续追，而当他追了这10浮时，乌龟又已经向前爬了1浮，阿喀琉斯只能再追这1浮。就这样，乌龟会制造出无数个起点，它总能在最后那个起点与自己当前位置之间爬出一段距离。不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！”

众人面面相觑，不知如何回答。

芝诺微笑着对刚才那位年轻人说：“你也可以追一下试试，当然一定能追上。但你如何回答我的问题？”

年轻人挠挠头：“我确实无法回答。”

芝诺：“第三，飞矢不动！设想一支飞行的箭。在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。由于每个时刻都没有持续时间，箭在每个时刻都是静止的。鉴于整个运动期间只包含时刻，而每个时刻箭都是静止的，所以飞行的箭总是静止的，不可能运动。”

众人哑然。

芝诺呵呵一笑，扬长而去：“运动是不可能的！”