回眸创新题型，洞察解题密码

陈国林

与创新题型相关的考点几乎覆盖了中学知识点的每个模块. 其中最为突出的是将中学数学问题结合数学文化进行命题，相关新定义问题也较为常见，不等式与函数方面一般从数学应用方面着手命制进而创新.考生对一些知识交汇类题型应引起注意，这是高考命题的一个趋势，特别是概率统计创新题型的命制花样较多，主要是结合实际生活应用、散点图、逻辑推理以及图论知识进行考查.

、 一、把握命题规律，洞悉考点走向

创新思想在每一套数学试题中都是不可或缺的，高考一般在试题解决方案、试题素材、试题情境等方面进行创新.2016年新课标卷Ⅲ中结合地理考查了识图能力；2015年全国卷Ⅰ理科第16题引导考生将解三角形问题的方法推广运用到四边形试题中，要求考生打破常规思路，独立思考，积极探究；浙江卷文科第7题将立体几何与平面几何知识有机结合，考查考生的空间想象能力和推理论证能力，对考生逻辑思维的灵活性有较高要求；2017年全国卷Ⅰ理科第12题将数列结合实际生活进行创新，全国卷Ⅱ理科第4题结合数学文化进行命题，新颖独特，体现数学文化在中学教学中的渗透.

二、论说创新题型的命题方式

笔者通过对近年高考试题的归纳探索发现，近年来数学创新题型的命题较为普遍，其中主要命题形式如下.

序号 命题形式

1 将大学内容以信息题的形式呈现，考查中学数学问题

2 根据新定义命制与中学有关的数学问题

3 通过数学与其他学科的关联，命制学科交叉问题

4 根据常考点大胆创新，例如2015年陕西卷某道题将复数与概率进行了结合

5 命题突出实践，增强创新应用性

6 设计新颖，注重逻辑推理的数学试题

7 结合传统文化命制数学问题

8 设计多个知识相互综合的探究类试题

三、相关创新题型分析

下面根据每个命题形式给出题例，并做出分析.

【例1】（2016·新课标卷Ⅲ）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（ ）.

A. 18个 B. 16个 C. 14个 D. 12个

【解析】当k=1时，由题意得a1=0，当k=8时，得a8=1，则具体的排法列表如下.

0 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 1

1 0 1

1 0

1 0 0 1 1

1 0 1

1 0

1 0 0 1

1 0

1 0 0 0 1 1

1 0 1

1 0

1 0 0 1

1 0

【评注】本题新定义了一个“规范01数列”，考查计数原理的相关应用，根据题目含义进行列举即可得出答案. 本题以信息题的形式呈现，考查了学生接受和处理信息的能力，解决此题需要充分理解题目的含义，进行深入分析，方能准确地得出结果.

【例2】（2016·新课标卷Ⅲ）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图（如图1）.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（ ）.

A.各月的平均最低气温都在0℃以上

B.七月的平均温差比一月的平均温差大

C.三月和十一月的平均最高气温基本相同

D.平均最高气温高于20℃的月份有5个

【解析】结合图形可知平均最高气温高于20℃的月份有2个，所以D不正确.

【评注】这是一道将地理与数学结合的试题，这种学科交叉的试题有很多，如在数学理科卷中，命题人会将数学与物理结合考查燃油效率问题，与化学结合考查SO2排放量问题，另外此类问题还常常考查利用向量解三角形问题.本题易错点有两个：一是对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把“雨伞”重叠在一起，找不到解决问题的方法；二是估计平均温差时易错选B.

【例3】（2015·陕西卷）设复数z=（x-1）+yi（x， y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（ ）.

A. + B. + C. - D. -

【解析】由|z|=≤1，得（x-1）2+y2≤1，即點（x， y）所在的区域是以（1， 0）为圆心，1为半径的圆盘，则满足y≥x的区域为如图2所示阴影部分（弓形OA），故y≥x的概率

P==-.

【评注】复数考题常常考查模长、共轭复数、实部与虚部等知识，而本题则巧妙地将复数与几何概型相结合考查了数形结合的思想. 解决此题的关键在于准确画图，画出图形后即可看出相应的面积关系.

【例4】（2017·新课标卷Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）.

A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏

【解析】一座7层塔共挂了381盏灯，即S7=381；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即q=2，塔的顶层为a1；由等比数列前n项和Sn=（q≠1）可知，S7=

=381，解得a1=3.

【评注】古算诗题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学形式.古算诗题表达了数学精华的思想方法，传递着数学问题的信息.本题主要选择了《算法统宗》的古算诗题，求解的关键在于将诗题与中学数学建立联系，进而求解.

【例5】（2015·四川卷）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）. 若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 小时.

【解析】由得e11k=，则当x=33时，y=

e33k+b=（e11k）3·eb=（）3×192=24.

【评注】培养学生的创新应用能力一直是一项不可小视的任务，因此在高考试卷中有关数学应用的试题是必不可少的.本题将食品保鲜问题结合指数的运算进行考查，突出了数学与生活息息相关的特点.

【例6】（2016·新课标卷Ⅱ）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是 .

【解析】由题意可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2.

【评注】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导，得出具体陈述或个别结论的过程.逻辑推理题的考查主要包括演绎、归纳和溯因三种方式.解决此类试题的关键在于弄清逻辑关系.

【例7】（2017·新课标卷Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为以下数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）.

A. 440 B. 330 C. 220 D. 110

【解析】（方法一）因为20+21+22+…+2n-1=2n-1，所以原数列的前（1+2+3+…+n）项和，即前项和为21-

1+22-1+23-1+…+2n-1=2n+1-2-n.

取n=29，则=435，所以原数列前440项和为

230-31+20+21+22+23+24=230，所以当整数N=440时，满足题设条件“N>100且该数列的前N项和为2的整数幂”.

类似分析，分别取n=25，20，14可知，当整数N= 330，220，110时，均不满足题设条件“N>100且该数列的前N项和为2的整数幂”.

综上，适合题意的最小整数N为440.故选A.

（方法二）因为20+21+22+…+2n-1=2n-1，所以原数列的前（1+2+3+…+n）项和，即前项和为21-1+22-1+

23-1+…+2n-1=2n+1-2-n（*）.

注意到20=1，20+21=3，20+21+22=7，20+21+22+23=15，20+21+22+23+24=31，所以易判断知，分别取（*）中的n=1，5，13，29，即得原数列的前N=3，18，95，440项和均为2的整数幂（说明：这里N的可能取值只罗列了前4个，且按由小到大的顺序依次给出）. 故适合题意的最小整数N为440.故选A.

【评注】新情景类数学问题有利于考查考生分析解决问题的实际能力、发散性思维能力和探索创新精神，所以需要引起重视.本题的难点在于需要对数列进行多次求和，从而导致考生解答时不知从何下手，思维难以打开.

四、创新题型破解策略

1.涉及大学内容、学科关联和新定义的数学问题一般会以信息题的形式出现，解决此类试题的关键在于弄清题目所给定义的含义.

2.学科关联试题的命制较为新颖，一般情况下数学文科卷会与地理结合进行命制，理科卷则会与物理化学结合进行命制，一般此类试题难度不大，掌握基本的数学知识与技能即可解决.

3.对于应用试题的解决，则需要将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型进而求解，一般方法是删除题目中的多余信息，抽取出关键内容，建立等量关系，进而对问题进行破解.

4.逻辑推理问题则需要弄清题目内在的逻辑关系.

5.传统文化试题是将古代数学与现代数学相结合，此类试题需要先理清古代数学文化中的用语所表示的含义，然后再利用中学数学知识进行求解.

6.综合类试题的难度较大，必须要有扎实的基础，将大的考点进行分解，逐步击破，方可胜券在握.

五、展望考题趋势，关注命题热点

笔者预测2018年创新题型的命制依旧会延续2017年的命题特点，考生需要关注以下几点：

1.新定义问题意在考查考生的数学抽象思维，如本文例1.

2.数学应用与逻辑推理试题意在考查考生的数学建模思想和数学思维的严谨性，如本文例3、例6.

3.我国数学文化历史悠久，存在許多不同于西方数学文化的鲜明特点：注重归纳，强调实用，讲究算法.在高考试题中渗透中国古代数学文化，强调中国古代数学文化的传统特色，使考生在解题过程中接受我国古代数学文化的熏陶，从而形成严谨、务实的治学态度，如本文例4.

4.利用综合知识对学生进行全面考查，此类试题一般会设计成压轴题，意在考查考生的数学运算与逻辑推理能力.