基于逻辑推理素养的高三复习教学*

☉福建省厦门大学附属实验中学 林运来

一、问题提出

1.何为逻辑推理素养

数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展需要的人的关键能力与思维品质.《普通高中数学课程标准（2017年版）》就是在大力倡导建构学生核心素养的背景下进行的修订，此次修订将数学教育的目标归纳为：用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界，明确提出了6个数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.逻辑推理是由已经总结出来的规律推出新的规律，是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.

2.高三数学复习课现状

当前高三数学复习课存在“轻视教材，重视题目”的倾向，教师把教材“丢弃”在一边，将教辅资料奉为圭臬，把主要时间都花在讲解公式、性质、定理和结论应用的例题上，对公式、性质、定理和结论的证明教学简单带过，一道例题接着一道例题，然后巩固训练.由于受教师的影响，不少学生头脑里往往只留下公式、性质、定理的外壳，忽视它们的来龙去脉，应用时只会“死记硬背，生搬硬套”.而采取死记硬背的方式，学生对数学内容的理解和把握大多是不正确的，伴随认知过程所产生的情意过程大多是消极的、负面的，死记硬背、机械训练所形成的数学技能往往是片面、畸形的，相应的数学能力其实很难形成，而未能获得理解、尚未内化的数学学习过程对于学生健全人格的塑造，其实是负面的.［1］

近期笔者对一道高考题进行变式教学，精心创设问题情境，促进学生建立知识网络，引导学生提高逻辑推理等数学素养，教学中感触颇多.

二、试题及评析

引题在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L—距离”定义为||P1P2||=|x1-x2|+|y1-y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L—距离”之和等于定值（大于||F1F2||）的点的轨迹可以是图1中的（ ）.

图1

评析：此题是2014年福建高考卷文科12题，试题通过定义“L—距离”，要求考生探究动点的轨迹，考查学生即时学习的能力，有助于培养学生的创新意识.对问题追根溯源，不难发现此题源于对教材“两点间距离公式”以及“椭圆第一定义”的深加工，以新颖别致的面目呈现，具有概念学习的深刻意蕴.“L—距离”定义形式简洁优美，具有很好的对称性，选择支给出的四个图形都具有对称美，令人赏心悦目.解答时要求考生通过对问题情境的转化，揭示“L—距离”的本质属性，能有效诊断、甄别学生数学思维水平，是一道内涵丰富的好题.

三、教学设计与实施

1.结合生活实际，创设问题情境

教师出示问题情境：在一些城市中，街道大多是相互垂直或平行的，从城市的一点到达不在同一条街道上的另一点，常常不能仅仅沿直线方向行走，而只能沿街走（转直角弯，很像字母L的手写体）.因此我们可以引入平面直角坐标系，对给定两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），用以下方式定义P1与P2间的“L—距离”：||P1P2||=|x1-x2|+|y1-y2|.

师：类比教材中“两点间距离”，你能探究得出“L—距离”的某些性质吗？证明你的结论.

设计意图：数学教学要从生活和社会现实出发，要从学生已有的学习经验、生活经验和活动经验出发，让学生在数学探究活动中不断积累数学思维的经验，形成和发展学生的核心素养.教师对高考题进行变式，在学生的最近发展区内设置问题情境，学生要解答这个问题必须具备一定的数学素养，能够理解定义，在理解的基础上进行推理.既让学生认识到数学源于生活，又知道了课本以外的知识，更激发了对未知事物的好奇与探究的激情和兴趣，而且结论是开放的，给学生很大的思考与探讨的空间.

生1：||P1P2||≥0.

生2：||P1P2||=||P2P1||.

师：太棒了！生1提出的性质可以称为非负性，生2提出的性质可以称为对称性.还有没有哪个同学愿意给大家分享自己的发现？

生3：对平面上三点P1，P2，P3，都有||P1P3||≤||P1P2||+||P2P3||.

师：说一说，你是怎么想到的？你能证明吗？

生3：老师你刚才指出了前面两个同学提出的性质，我发现这两条性质与学习过的“两点间距离”的性质类似，于是联想到“三角形不等式”，就得出这个性质，证明也比较容易.

师：非常好！生3的发现表明“L—距离”满足“三角形不等式”这一性质.大家还有没有其他发现？

生4：||P1P2||≥||P1P2||.

师：这个发现联系到两种距离，非常好！你能证明你的结论吗？

生4：我想到两种证明方法，一种是代数证法，即把两种“距离”的表达式写出来，两边平方就能得出结论；第二种是几何证法，画出图形就能证明.

笔者请他到讲台上板书其证明所用图形，如图2所示.

师：非常好！生4利用图2“直达”不等式||P1P2||≥||P1P2||的数学本质，即||P1P2||=||MP2||+||MP1||≥||P1P2||，同时也给出“L—距离”这一概念的直观表示和合理解释.

设计意图：直观想象是数学核心素养的一个方面，几何图形是直观想象的一个重要载体，在学习中要引导学生关注不等式证明的几何意义与背景，加强知识之间的联系，发展学生的逻辑推理及分析解决问题的能力.

图2

2.小组讨论交流，进行类比推理

新课程理念强调过程教学的重要性.过程教学就是要暴露知识的形成过程及发生发展的过程.面对一个陌生的问题，教师可以从引导学生复习旧知开始，类比地提出问题，促进学生思考.

教师出示问题：对“L—距离”而言，我们还能探究得出其他一些性质，同学们可以在课后继续研究.类比“两点间距离”，如果要从刚才已经探究得出的这些性质中，选出几条作为“L—距离”的“距离公理”，你认为选择哪几条比较合适？说说你的理由.请四个学习小组展开讨论，然后每组派一名代表汇报结果.

设计意图：数学不仅仅是计算和应用公式，数学的实质是思维方式，是演绎和归纳的逻辑思维方式.教师要求学生做出选择，并说明理由，传达出创造性比知识更重要的教育理念.在解答问题的过程中，学生思维的条理性和严密性都能得到一定程度的增强，进一步体会到“言必有据”的推理特征，感悟数学的理性精神.［2］

生5：我们小组选了三条，第一条“非负性”，因为一提到“距离”，人们往往想到的就是长度，具有非负性；第二条“对称性”，因为它反映出“彼此”之间的一种关系，即“由此及彼”与“由彼及此”是一样的，对P1，P2来说体现了公平性；第三条，我们选“三角形不等式”，因为在“不等式”的学习中，我们知道现实生活中的不等关系要远多于相等关系，它们都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，既然定义了“L—距离”，就要关注在这个概念下，量与量之间能不能进行比较，像一般的两个复数就不能比较大小，同时这个性质与三角形这一重要的图形联系在一起.（全班同学都鼓掌）

师：说得非常好，看来文科生的语言确实富有诗情画意.事实上，“距离”这一概念还有延拓的空间，“距离”的更一般意义是：对于一个集合A，如果在它的元素之间定义了一个实值函数d（a，b），满足如下三条公理：

（1）（非负性）对任意a，b∈A，均有d（a，b）≥0，式中的等号当且仅当a=b时成立；

（2）（对称性）d（a，b）=d（b，a）；

（3）（三角形不等式）对任意a，b，c∈A，有d（a，c）≤d（a，b）+d（b，c）.

这时，我们把函数d（a，b）叫做距离，并把定义了距离函数的集合A叫做距离空间.

3.通过数学应用，提升数学素养

教师出示问题：若平面上的动点P与x轴上两个不同定点F1，F2的“L—距离”之和等于定值（大于||F1F2||）.

（1）求出点P的轨迹方程；

（2）你能类比课本中通过椭圆的方程讨论它的一些简单而基本的性质的方法研究点P的轨迹的性质吗？你认为要研究它的哪些性质？

（3）画出点P的轨迹图形，并描述图形的特征.

设计意图：反映数学的应用价值，发展学生数学应用意识，是我国中学数学课程的基本理念之一.数学应用是数学教学的一个重要环节，目的是运用数学，巩固所学知识.教师要求学生描述图形特征，有助于提升学生数学语言的转译能力，培养学生的思维与表达能力.

师生共同探究得出如下解答：

解析：（1）以经过定点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.设F1（-c，0），F2（c，0），显然||F1F2||=2c.

设点P（x，y）到定点F1，F2的“L—距离”之和等于定值2a（其中a＞c＞0），由定义，点P的轨迹（即要求的曲线）就是集合A={|||PF1||+||PF2||=2a}.

因为||PF1||=|x+c|+|y|，||PF2||=|x-c|+|y|，

所以|x-c|+|x+c|+2|y|=2a. ①

（2）上面从动点P的轨迹的定义（几何特征）出发建立了曲线对应的方程.下面再利用方程研究曲线的几何性质，包括形状、大小、对称性和位置等.

范围：可以利用方程（代数方法）研究它的范围.因为|x-c|+|x+c|≥|（x-c）-（x+c）|=2c，由方程①可知，2|y|=2a-（|x-c|+|x+c|）≤2a-2c，所以曲线上的点的纵坐标都适合不等式2|y|≤2a-2c，即-（a-c）≤y≤a-c.同理有|x-c|+|x+c|=2a-2|y|≤2a，即-a≤x≤a.这说明曲线位于直线x=±a和y=±（a-c）所围成的矩形框里.

对称性：在方程①中以-y代y，方程并不改变，这说明当点P（x，y）在曲线上时，它关于x轴的对称点P1（x，-y）也在曲线上，所以所求曲线关于x轴对称；同理，以-x代x，方程也不改变，所以所求曲线关于y轴对称；以-x代x，以-y代y，方程也不改变，所以所求曲线关于原点中心对称.综上，所求曲线关于x轴、y轴和坐标原点都是对称的.

顶点：在方程①中，令x=0，得y=±（a-c），这说明所求曲线与y轴的两个交点为B1（0，c-a），B2（0，a-c）.同理，令y=0，得x=±a，这说明A1（-a，0），A2（a，0）是轨迹与x轴的两个交点，这四个交点可以定义为轨迹的顶点.

图像：由前面的讨论，只需考虑x≥0，y≥0的情形，再结合对称性就可以得出方程①对应的轨迹.当x≥0，y≥0时，方程①可以化为只需画出函数，的图像，就可以得出动点P对应的轨迹.

（3）由（2）得，点P的轨迹如图3所示.

图3

四、教学思考

1.高考复习要回归教材

核心素养就是两件事：（1）学习和掌握现成的知识作为工具；（2）利用这些工具去解决新问题.［3］教学中笔者通过改编高考题，设计层层深入的问题串，为引导学生进行数学探究提供了良好的平台，彰显了问题的价值.学生在探究时，回归到“L—距离”的定义，重新审视概念并用概念解决问题.接着“足够地退”，“退回”课本，仿照教材中研究圆锥曲线的几何性质的方法，通过对曲线的范围、对称性及特殊点的深入讨论，从整体上把握曲线的形状、大小和位置.“回归课本”有助于深化对问题的认识，让课本焕发新的活力，彰显教材价值！

课堂教学内容由教师主导并精心设计，预设各个教学环节的教学规划，是课堂教学取得成功和有序推进的保证.课程标准下，高中数学教材编写的指导思想为“改进教学和学习的方式，培养创新意识”，因此作为一线的教育工作者，要认识到教材在教育教学中发挥的引导作用.［4］教师要做到“三个理解”（即理解数学、理解学生、理解教学），真正走进教材、走进高考、走进学生；教师在实施课程过程中，应根据课程标准对教材内容进行适度调整和加工，合理选用和“再度开发”，要能运用问题、变化问题、深化问题、活化问题，不断开启学生思维的大门.

2.数学核心素养必须经过真正意义上的数学学习才能形成

“数学核心素养应渗透在具体数学内容的教学过程中，成为引导学生理解和应用数学知识的指路明灯和导航仪”（李尚志语）.数学学习和研究的本质就是不断地建立概念，挖掘概念的内涵和外延，引发新的冲突进而建立新的概念的过程，而不是仅仅停留在知识为本、记忆为主理念下的以接受事实性知识为主要目的.

一节课的教学目标不必兼顾所有核心素养，要根据教材内容和教学需求，恰当地聚焦于一个或几个核心素养的发展；一节课的教学目标中涉及的几个核心素养不必平均用力，结合学生情况和教师水平，可以突出某个核心素养的培养.上述教学笔者通过创设问题情境，从概念学习立意，体现数学学习和研究的本质规律；通过问题解决，引导学生经历思考的过程，感悟研究曲线的方程与性质的一般套路和思维方式，获得直接的经验和体验，亲身经历数学概念的抽象过程、数学性质的推导过程，建构真正的数学理解，提高了知识迁移和问题解决的能力，提升了学生思维品质，相应的数学素养也伴随这个过程逐渐提升.

1.孔凡哲，史宁中.中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成路径［J］.教育科学研究，2017（6）.

2.林运来.中美两道考题带给我们的启示［J］.中学数学教学参考（中旬），2015（1-2）.

3.李尚志.核心素养渗透数学课程教学［J］.数学通报，2018（1）.

4.刘校国.螺旋式上升背景下教学内容呈现方式的研究——基于苏教版高中数学教材必修1与必修4函数图像变换编写的比较［J］.中学数学（上），2017（10）.F