高中数学辅助数列的应用浅谈

朱海明

摘 要：高中数学数列部分主要介绍了等差等比数列，那么辅助等差等比数列既是以等差等比数列为基础，又对学生的应用能力提出很好的要求；辅助等差等比数列的应用是考查学生知识能力的重要方式之一；本文将通过一些例子介绍辅助等差等比数列的一些形式及其解决方法。

关键词：等差；等比；辅助；递推；待定系数；构造

前言：数列在高中数学中占有重要地位，通项公式的求解是学习数列的必备技能，而对于出题者而言等差等比数列的基本知识考查也是核心的目的，所以辅助等差等比数列的应用就显得重要；下面笔者将分别探讨辅助等差数列和辅助等比数列，探讨在一些形式的递推数列情况下进而求数列通项公式方法与方式。

一、辅助等差数列

1.数列■为等差数列，递推公式一般形式为：an+1-an+λan·an+1=0。

例1 已知数列{an}，a1=1，an+1-an+2an·an+1=0；求{an}的通项公式。

解：an+1-an+2an·an+1=0，两边同时除以an·an+1得

■-■=2∴ 数列■是公差为2的等差数列。

■=2n-1∴an=■。

2.数列■为等差数列，其递推公式一般为：an+1-qan=d·qn+1

例2 已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+3·2n+1，求{an}的通项公式.

解：an+1=2an+3·2n+1，两边同除以2n+1得：

■-■=3，∴ 数列■为公差为3的等差数列.

∴ ■=3n-2，∴an=3n·2n-2n+1。

3.数列■为等差数列，其递推公式一般为：nan+1=（n+1）an-dn（n+1）

例3 已知数列{an}满足：nan+1=（n+1）an+2n（n+1）且a1=1，求{an}通项公式。

解：nan+1=（n+1）an+2n（n+1），两边同时除以n（n+1）得：

■-■=2，∴ 数列■是公差为2的等差数列。

∴ ■=2n-1，∴ an=2n2-n。

4.除以上一些例子外，常有其他的辅助等差数列如，数列{■}、{a2n}等等，需读者在平时的学习中注重经验的积累；

二、辅助等比数列

1.数列{an+k}为等比数列，递推数列一般形如：an+1=λan+μ（μ≠0）

此类递推数列可以待定系数法或构造配凑法等求出通项公式；

例4 已知数列{an}，a1=2，an+1=3an+4；求数列{an}的通项公式；

解：an+1=3an+4，此处可以用待定系数法，

设an+1+k=3（an+k）得an+1=3an+2k，∴ k=2

∴ an+1+2=3（an+2），∴ 数列{an+2}为公比为3的等比数列。

∴ an+2=4·3n-1，∴ an=4·3n-1-2。

2.数列{an+f（n）}为等比数列，常见的有：数列{an+kn+b}，

数列{an+kan}，数列{an+λn2+bn+c}为等差数列；

①当递推数列形如：an+1=λan+an（λ≠a），可知数列{an+kan}为等比数列，公比为λ；

例5 数列{an}满足an+1=2an+3n，且a1=4，求数列{an}的通项公式；

解：an+1=2an+3n，an+1-3n+1=2（an-3n）

∴ 數列{an-3n}为公比为2的等比数列；

∴ an-3n2n-1，∴ an=3n+2n-1

②当递推数列形如：an+1=λan+μn+δ时候，数列{an+kn+b}为等比数列；

例6 数列{an}满足an+1=2an+2n-5，且a1=2；求数列{an}的通项公式；

解：先通过待定系数法，设：an+1+k（n+1）+b=2（an+kn+b）

即：an+1=2an+kn+k-b，对比an+1=2an+2n-5

∴ k=2，b=-3。

∴an+1+2（n+1）-3=2（an+2n-3）

∴ 数列{an+2n-3}是公比为2的等比数列。

∴ an+2n-3=1·2n-1，∴ an=2n-1-2n+3

③数列{lgan}为等比数列；

当递推公式形如：an+1=（an）q的时候，两边去对数，这样可以构造数列{lgan}为等比数列；

例7 已知数列{an}满足a1=3，an+1=（an）3；求数列{an}的通项公式；

解：an+1=（an）3，两边去对数lgan+1=3lgan

∴ 数列{lgan}为公比为3的等比数列。

∴ lgan=lg3·3n-1，∴ an=10lg3·3n-1=33n-1

笔者只是简单地介绍了以上的一些以等差、等比为基础的辅助数列，读者还可以在以上形式的基础上得到更多的变式；最后，以上的一些辅助数列希望对读者的经验有所帮助。

（作者单位：安徽省南陵中学）