例析速解二项展开式的任意项及其系数

程琬婷

[摘要]二项展开式的指定项或指定项的系数是高中数学重要的内容，在高考题中经常出現.研究二项展开式的任意项及其系数求法具有现实意义.

[关键词]高中数学;二项展开式;任意项;系数

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）08002401

【例1】x2-12x9

展开式中x9的系数为.

解题思路：方法一，常规法.先将通项写出来，求出未知数r，再来求第9项的系数;方法二，速解法.在r的求法中，须确保二项式中两个单项式的分母均不含未知数x，若分母中含未知数x，先化简，然后再求r.r的分母为“括号内指数相减”，分子为“括号外指数相减：第一项指数乘以二项式总指数，减去所求项指数”.

解题思路：方法一，常规法.根据公式直接来计算;方法二，利用例1中的速解法;方法三，求二项展开式中常数项的速解法.只看x的次数（就是看x的指数，不用管指数的正负，只取x指数的绝对值），先写x的指数之比，其次将3比2值中的与调换位置，接着比上它们的和，即2+3=5，然后观察二项式总指数n=10，由比值的和5变到10须乘以2，所以2∶3∶5每一个数都乘以2就得到4∶6∶10，最后写答案是组合与各项系数乘积的形式，比值4∶6∶10中第一个数为组合的上标，第三个数为组合的下标，然后乘以二项式中两个单项式的系数，并把比值中对应的数值当作系数的指数即可.

（责任编辑黄桂坚）