排列组合的一次教学尝试

王一峰

排列组合是高中新课标的新增内容，虽然在初中时学生也接触过概率，但还没有用排列组合去研究概率。因为排列组合极具抽象性而成为教学难点。有相当一部分题目教师都很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听，有的即使教师觉得讲清楚了，但是由于学生的认知水平，思维能力在一定程度上受到限制，还不太适应。从而导致学生对题目一知半解，甚至觉得“云里雾里”。

之所以学生“怕”学排列组合（甚至教师也怕教），主要还是因为排列组合的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨将原题进行一下转换，让学生走进题目当中，自己将题目进行等价转换，成为提出问题和解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。当然，在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性，可操作性。

例：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数，问这样的五位数有几个？

（本题我是先让学生自己独立计算，有很多同学得出的结论是A35×A24）

（1）仔细审题：先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。

（2）转换题目：在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价转换，有一位同学甲将题目转换如下：

从班里的第一组（12人）和第二组（10人）中分别选3位和2位同学分别去参加学校举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法？

（3）解决问题：接着我就让同学甲来提出选人的方案

同学甲说：先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛，有A312×A35种选法；再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有A210×A25种选法；最后由乘法原理得出结论为（A312×A35）×（A210×A25）（种）。

（这时同学乙表示反对）

同学乙说：如果第一组的3个人先选了3门科目，那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是A210×A22（种）。

（同学们都表示同意，但是同学丙说太复杂啦。）

同学丙说：可以先分別从两组中把5个人选出来，然后将这5个人在5门学科中排列，他列出的计算式是C312×C210×A55（种）。

（再次通过互相讨论，都表示赞同）

这样原题的解答结果就“浮现”出来C312×C210×A55（种）。

（4）老师总结：针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。

以上是我一节课中对排列组合问题学习的分析过程，旨在通过这种方法的尝试（教学效果比较明显），进一步活跃课堂气氛，更全面地调动学生的学习积极性，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在互相讨论的过程中学会自己分析转换问题，解决问题。