绝对值概念教学的几点体会

马小芸　钱鑫

摘要：引导学生体会、领悟、挖掘、运用蕴含在概念教学中的数学思想方法。

关键词：概念；数形结合思想；分类讨论思想

《九年义务教育数学教学大纲》指出：“初中数学的基础知识主要是概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”学生数学能力的差异，后进生的分化，也往往从学习基本概念开始，所以在进行概念教学时，引导学生体会、领悟、挖掘、运用蕴含在概念教学过程中的数学思想方法是课堂教学的重要目标。

绝对值不仅是初一新生的学习难点，也是整个初中阶段的数学学习过程中的一大难点，很多学生对绝对值概念理解不透，记忆模糊，更谈不上灵活运用。下面就绝对值概念教学谈几点个人的体会：

一、 在绝对值概念引入过程中引导学生体会数学思想方法

本节教学目标要求：1. 理解并掌握絕对值的几何定义与代数定义；2. 在绝对值概念的学习过程中体会数形结合思想方法和分类讨论思想方法，丰富解决数学问题的策略。

在这节内容的教学中，首先创设情境引入概念：

问题：两只蜗牛从同一处O出发，分别向东、西方向爬行7 cm，到达A、B两处，它们的行驶路线相同吗？它们行驶路程的远近（线段OA、OB的长度）相同吗？（学生画图讨论）

学生讨论回答两只蜗牛的行驶路线相反，它们行驶的路程相同都是7 cm。

教师指出：在实际生活中，有时存在这样的情况，无需考虑数的正负性质，比如：在计算蜗牛行驶的路程中，与它们行驶的方向无关，路程只需用正数（从形和数两个角度去感受绝对值）。此时引入绝对值的几何定义：数轴上表示数a的点与原点之间的距离。借助概念，学生很快得出|±6|=6，|-2.5，|0|=0。同时抓住时机渗透“数形结合”的思想方法，让学生初步理解绝对值的几何定义，体会一个数的绝对值对应的就是数轴上一条线段的长度，与表示这个数的点在原点的左边或右边无关。

然后出示例1.求下列各数的绝对值：+0.9，-5，-0.9，0，+5。

学生迅速口答得出正确答案。又提出：从以上答案中你能发现哪些结论？学生和老师共同归纳得出：①正数的绝对值是它本身；②0的绝对值是0；③负数的绝对值是它的相反数；④任何有理数的绝对值都是非负数；⑤一对相反数的绝对值相等。适时引入绝对值的代数定义，同时对概念提炼升华。这一环节教学中引导学生在已有结论的基础上，从不同方面考虑问题，获得新结论，层层深入，达到循序渐进的教学效果。同时学生领悟“分类讨论”的思想方法，也就是求一个数的绝对值时，先判断其正负，再确定其绝对值。

二、 在问题解决过程中运用概念，把握本质，领悟数学思想方法

很多学生对概念的学习只是停留在简单机械记忆，直接应用，并没有抓住概念的本质特征，更谈不上灵活运用概念。在教学中，教师不但要引导学生直接应用概念，也要学会逆用概念解决数学问题，从而对概念有深刻本质的认识，从而达到真正掌握概念、灵活运用的目的。如下列问题：

（1） 已知|x|=4，求x的值。（2）已知|x|≤4，求满足条件的整数x的值。（3）若|x|=-x，则x0。

分析：在问题（1）中，学生会出现两种不同解法，方法一：求绝对值等于4的数就是找出数轴上到原点距离等于4的数，即x=±4；方法二：数x既可以是正数又可以是负数，所以当x是正数时，x=4，当x是负数时，-x=4，即x=-4。方法一运用了绝对值的几何定义，方法二则运用了绝对值的代数定义，这两种解法分别体现了数形结合的思想方法和分类讨论的思想方法。

问题（2）与问题（1）相比，难度略有增加，这里可以带领学生换个角度来读题，把|x|借助概念“翻译”为“数轴上表示数x的点到原点的距离”，貌似死搬概念，学生却有恍然大悟的感觉，同时学生也体会到概念的重要性。这时学生马上就会想象数轴上到原点距离不大于4的整数都有哪些，在这一过程由数想图、由图想数，充分体现了数形结合的思想方法，问题（2）马上得到准确解答。

问题（3）的解答，多数学生会填“>”，却忽略了0的绝对值等于0的本质是：0的绝对值即等于它本身又等于它的相反数，从而造成了漏解。也体现出学生对所学概念没有把握本质特征。

三、 变式引申，强化探索，运用数学思想，提升数学能力

概念的教学不能只停留在新授课上，增加变式练习，才能使学生对概念的理解更透彻，运用更自如。如以下问题：

（4）已知a

分析：问题（4）对于初一新生而言会感到比较难，不知从哪下手，实质上此题难在学生对用字母表示数认知模糊，思维上对字母与数的角色转换没有意识，只要引导学生逐一分析出a、b-c、a-b、c的正负，学生就会得出|a|=a，|b-c|=b-c，|a-b|=-（a-b），|c|=-c这样学生就能顺利化简。在此题的解答过程中，绝对值的代数定义是解决问题的核心，通过这一问题的解答，概念的认知就会更明确，其中渗透的分类思想也显现出来。

学生在已经基本掌握绝对值概念后，面对问题（5）仍会有不知所措的感觉，解决的关键是|x-1|的化简，把复杂问题简单化，提出如何化简|x-1|，这里既没有图形，又不知x的取值范围，提示学生把x-1看作一个整体时该怎样化简，这时学生们会按x-1>0、x-1=0、x-1<0分别化简，这时师生共同探讨x-1>0、x-1=0、x-1<0时，x>1、x=1、x<1。至此难点解决，引导学生写出此方程的解答过程即可。在这一问题的探究中，学生不仅学习运用了分类讨论的方法解决问题，同时也体会到了整体思想及转化思想的运用。

问题（6）的提出是建立在问题（5）的基础上，学生对单独化简|x-1|和|3+x|有了一定的认识，教师可以明确指出x的化简分x>1、x=1、x<1三种情况，|3+x|的化简分x>-3、x=-3、x<-3三种情况，但综合在一个题中就要全面考虑x的取值范围，同时兼顾两个绝对值的化简，此时利用数轴展示引导学生得出：按x<-3，x=-3、-31五种情况分类化简。

通过上面变式问题的学习，学生对绝对值的概念的认识才会更全面、更深刻。总之数学教学应该注重概念教学，使学生清晰地掌握概念，透彻地理解概念，灵活地运用概念，站在数学思想方法的高度上把握概念，形成数学能力。

作者简介：

马小芸，钱鑫，甘肃省平凉市，平凉市广成学校。